Два конуса имеют общую вершину, высота каждого из них лежит на боковой поверхности другого. Узнать угол между линиями их пересечения, если угол между высотой и образующей в каждом из конусов равен альфа. У кого-то если есть идеи, натолкните, пожалуйста, на мысль. Спасибо. ))

задан 7 Янв '12 2:05

изменен 7 Янв '12 12:05

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Может, написать уравнения этих конусов (поместить вершины в начало координат, одну из осей направить вдоль высоты первого, тогда при повороте на угол альфа получим новую систему координат, ось которой будет совпадать с высотой второго конуса) Параметр, необходимый для задания конуса, выразить через tg известного угла. Затем решить систему и получить квадратичную форму двух переменных. Она должна распасться на две пересекающиеся прямые.

(12 Янв '12 13:30) Hedgehog
10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Пусть у нас два одинаковых конуса с образующей $%l$%, радусом $%r=l\sin\alpha$%, высотой $%h=l\cos\alpha$%.
  2. Через линии пересечения конусов проведем плоскость. Очевидно, что она делит угол между высотами конусов (альфа) пополам.
  3. На основании одного из конусов откладываем радиус и перпендикулярно ему прямую на расстоянии $%x=h*tg\frac{\alpha}2$% от центра. Это у нас линия, через которую проходит секущая плоскость. Соответственно через точки пересечения этой прямой и окружности основания проходят линии пересечения конусов.
  4. Половина расстояния между этими точками равна $%y=\sqrt{r^2-x^2}$%. Из половины этого расстояния и одной из образующих конуса получается прямоугольный треугольник. Угол при его вершине (которая находится в вершине конуса) равен $%\arcsin{\frac{y}l}$%. Умножаем этот угол на 2 - получается искомый угол между прямыми, по которым пересекаются конусы.

Осталось собрать все вместе: $$\beta=2\arcsin\frac{y}{l}=2\arcsin\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{l}=2\arcsin{\frac{\sqrt{r^2-(h*tg\frac{\alpha}2)^2}}l}$$

Заменяем r и h на $%l\sin\alpha$% и $%l\cos\alpha$% соответственно: $$\beta=2arcsin\frac{\sqrt{l^2sin^2\alpha-l^2\cos^2\alpha*tg^2\frac{\alpha}2}}l=$$

($%l$% сокращается) $$=2arcsin\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha*tg^2\frac\alpha2}$$

ссылка

отвечен 13 Янв '12 0:55

изменен 13 Янв '12 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,301

задан
7 Янв '12 2:05

показан
1332 раза

обновлен
13 Янв '12 1:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru