геометрия - Угол между линиями пересечения

1. Пусть у нас два одинаковых конуса с образующей $%l$%, радусом $%r=l\sin\alpha$%, высотой $%h=l\cos\alpha$%.
2. Через линии пересечения конусов проведем плоскость. Очевидно, что она делит угол между высотами конусов (альфа) пополам.
3. На основании одного из конусов откладываем радиус и перпендикулярно ему прямую на расстоянии $%x=h*tg\frac{\alpha}2$% от центра. Это у нас линия, через которую проходит секущая плоскость. Соответственно через точки пересечения этой прямой и окружности основания проходят линии пересечения конусов.
4. Половина расстояния между этими точками равна $%y=\sqrt{r^2-x^2}$%. Из половины этого расстояния и одной из образующих конуса получается прямоугольный треугольник. Угол при его вершине (которая находится в вершине конуса) равен $%\arcsin{\frac{y}l}$%. Умножаем этот угол на 2 - получается искомый угол между прямыми, по которым пересекаются конусы.

Осталось собрать все вместе: $$\beta=2\arcsin\frac{y}{l}=2\arcsin\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{l}=2\arcsin{\frac{\sqrt{r^2-(h*tg\frac{\alpha}2)^2}}l}$$

Заменяем r и h на $%l\sin\alpha$% и $%l\cos\alpha$% соответственно: $$\beta=2arcsin\frac{\sqrt{l^2sin^2\alpha-l^2\cos^2\alpha*tg^2\frac{\alpha}2}}l=$$

($%l$% сокращается) $$=2arcsin\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha*tg^2\frac\alpha2}$$