Найти все $%a$%, при которых система имеет ровно 2 решения: $$\begin{cases} 2x-2y-2=|x^2+y^2-1| \\ y=a(x-1) \end{cases}$$

задан 6 Июн '15 0:05

изменен 6 Июн '15 23:37

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Задачу можно решить графически. Прежде всего, левая часть первого равенства неотрицательна, то есть $%x\ge y+1$%. При этих условиях, раскрываем модуль, получая совокупность двух уравнений $%x^2+y^2-1=\pm(2x-2y-2)$%. Они имеют вид $%(x-1)^2+(y+1)^2=1$% и $%(x+1)^2+(y-1)^2=5$%. Рисуем графики обеих окружностей. Легко видеть, что они пересекаются в точках $%(1;0)$% и $%(0;-1)$%, лежащих на прямой $%y=x-1$%. Нас интересует нижняя полуплоскость, а её принадлежит объединение двух дуг окружностей, которое обозначим через $%M$%.

Теперь через точку $%(1;0)$% проводим всевозможные прямые вида $%y=a(x-1)$%, и смотрим, при каких значениях параметра такая прямая пересекает множество $%M$% ровно в двух точках. Значение $%a=1$% подходит, и далее, при увеличении $%a$%, точек пересечения становится три -- пока прямая не станет касательной к большей из окружностей. Угловой коэффициент её равен двум, из чего можно сделать вывод, что подходят все $%a\ge2$%.

Ясно также, что при $%a\in[0;1)$% пересечение будет только одно, а при $%a < 0$%, помимо точки $%(1;0)$%, будет ещё одна точка пересечения с дугой меньшей из окружностей.

Итого $%a\in(-\infty;0)\cup\{1\}\cup[2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 6 Июн '15 2:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×444

задан
6 Июн '15 0:05

показан
291 раз

обновлен
6 Июн '15 2:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru