Помогите разобраться с доказательством условной сходимости:

$%\int_{0}^{\infty }\frac{sinx}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{sinx}{x}dx+\int_{1}^{\infty }\frac{sinx}{x}dx$%

Первое слагаемое - собственный интеграл, второй: $%\int_{1}^{\infty }\frac{sinx}{x}dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_{1}^{b }\frac{sinx}{x}dx=\lim_{b\rightarrow \infty}(\frac{-cosb}{b}+\frac{cos 1}{1}-\int_{1}^{b}\frac{cosx}{x^2}dx)$% - сходится.

Как получено последнее выражение?

Таким образом получили, что исходный интеграл сходится.

Далее написано: если бы сходился $%\int_{1}^{\infty }\frac{|sinx|}{x}dx$%, то из неравенства $%|sinx|\geqslant sin^2x$% следовало бы, что $%\int_{1}^{\infty }\frac{sin^2x}{x}dx$% - сходится (почему?), но это не так, т.к. $%\int_{1}^{\infty }\frac{sin^2x}{x}dx=\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x}dx+\int_{1}^{\infty }\frac{cos2x}{x}dx$% - расходится.

задан 6 Июн '15 17:43

изменен 6 Июн '15 21:53

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

1) Интегрирование по частям $$\int\frac{\sin x}xdx=\int\frac{d\cos x}x=\frac{\cos x}x-\int\cos xd\left(\frac1x\right)$$ 2) Признак сходимости несобственных интегралов http://stu.sernam.ru/book_msh.php?id=204

(6 Июн '15 17:56) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×211

задан
6 Июн '15 17:43

показан
149 раз

обновлен
6 Июн '15 17:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru