|
Найти треугольник данного периметра $%2p$%, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема задан 7 Июн '15 11:54 
Nikitc |
|
Воспользуемся дважды неравенством Коши: $$V=\frac13\pi ah_a^2=\frac13\pi a\frac{4S^2}{a^2}=\frac{4\pi p}3\cdot\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}a\le\frac{4\pi p}3\cdot\frac{(p-a)\left(\frac{p-b+p-c}2\right)^2}a=\\=\frac{\pi p}3\cdot(p-a)a\le\frac{\pi p}3\cdot\left(\frac{p-a+a}2\right)^2=\frac{\pi p^3}{12}.$$ Равенство достигается при $$a=\frac{p}2,b=c=\frac{3p}4.$$ отвечен 7 Июн '15 12:47 
EdwardTurJ 1) почему дважды и что оно дает?
(7 Июн '15 13:02)
Nikitc
1) Почему дважды - видно из цепочки неравенств, неравенства дают нужную оценку. Первое неравенство убирает переменные $%b$% и $%c$%, второе находит максимум. 2) Следует из формулы площади треугольника.
(7 Июн '15 13:12)
EdwardTurJ
как мы убрали b и c? и почему сказали что b=c
(7 Июн '15 13:59)
Nikitc
$$\frac{(p-b+p-c)^2}a=\frac{(2p-b-c)^2}a=\frac{((a+b+c)-b-c)^2}a=\frac {a^2}a=a.$$
(7 Июн '15 14:30)
EdwardTurJ
как получили что a=p/2?? и b=c=3*p/4?
(7 Июн '15 16:17)
Nikitc
@Nikitc: Воспользовались неравенством Коши $$xy\le\frac{(x+y)^2}2,$$ а равенство достигается тогда и только тогда, когда $%x=y$%. $$b=c=\frac{2p-a}2=\frac{2p-\frac p2}2=\frac{3p}4.$$
(7 Июн '15 16:26)
EdwardTurJ
показано 5 из 7
показать еще 2
|