Помогите доказать теорему: Пусть $%G=A*B$% – свободное произведение групп $%A$% и $%B$%. Тогда произвольная конечная подгруппа группы $%G$% сопряжена с некоторой подгруппой группы $%A$% или группы $%B$%

задан 8 Июн '15 12:09

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим элемент свободного произведения чётной слоговой длины, то есть $%a_1b_1\ldots a_nb_n$%, или аналогичный ему элемент с заменой $%A$% на $%B$%. Очевидно, что его порядок бесконечен, потому что при возведении в степень получаются приведённые слова, их длины растут, и единичный элемент никогда не получится.

Теперь рассмотрим элемент нечётной слоговой длины вида $%a_1b_1\ldots a_n$%, состоящий более чем из одного слога. Тогда он сопряжён элементу $%(a_na_1)b_1\ldots b_{n-1}$%, и если $%a_na_1\ne1$%, то по предыдущему элемент имеет бесконечный порядок. Если же $%a_n=a_1^{-1}$%, то есть элемент имеет вид $%a_1b_1\ldots a_1^{-1}$%, то он сопряжён элементу $%b_1\ldots b_{n-1}$%. Далее мы смотрим, равно ли единице произведение $%b_{n-1}b_1$%. Если нет, то перед нами элемент бесконечного порядка. Если да, то сокращаем взаимно обратные элементы на концах, и так пока не придём к элементу из одного слога, про который нам всё известно.

Из сказанного ясно, что всякий элемент конечного порядка группы $%A\ast B$% сопряжён элементу конечного порядка группы $%A$% или группы $%B$%. Теперь осталось обобщить это свойство на случай конечной подгруппы $%G$%.

Если $%G$% единична, то доказывать нечего. В противном случае берём элемент $%g\ne1$% из $%G$%. Он имеет конечный порядок, и по предыдущему он сопряжён элементу одного из множителей. В силу симметрии, можно считать, что это множитель $%A$%, то есть $%g=x^{-1}ax$% для некоторого $%a\in A$% и $%x\in A\ast B$%. Рассмотрим подгруппу $%G_1=xGx^{-1}$%, сопряжённую $%G$%. Она также конечна, и про неё известно, что $%a\in G_1\cap A$%, где $%a\ne1$%. Достаточно проверить, что $%G_1\subseteq A$%.

Рассмотрим произвольный элемент группы $%G_1$% и предположим, что он не принадлежит $%A$%. Мы уже знаем, что этот элемент не может иметь ни вида $%a\ldots b$%, ни вид $%b\ldots a$% ввиду конечности порядка. Предположим, что элемент имеет вид $%b_1\ldots b_n$%, где $%n\ge1$%. Тогда $%ab_1\ldots b_n$% принадлежит $%G_1$%, имея бесконечный порядок, что невозможно. Остался случай $%a_1b_1\ldots a_n$%. Мы уже знаем, что $%a_na_1=1$%, что необходимо для конечности порядка. Но тогда элемент $%(aa_1)b_1\ldots a_n$%, принадлежащий $%G_1$%, уже не может иметь конечного порядка, так как $%a_n(aa_1)=a_1^{-1}aa_1\ne1$%, и порядок снова получается бесконечный.

ссылка

отвечен 8 Июн '15 20:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,708
×750

задан
8 Июн '15 12:09

показан
300 раз

обновлен
8 Июн '15 22:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru