alt text

задан 8 Июн '15 22:48

изменен 8 Июн '15 22:54

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
4

Эту задачу можно решать многими способами. В частности, при помощи симметрических многочленов, но это длинно. Предлагаю рассмотреть такой способ. Рассмотрим многочлен со старшим коэффициентом 1, а именно, $%g(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$%. Мы хотим, чтобы $%x^3$% было его корнем при условии, что $%f(x)=x^4+x-1=0$%. Для этого достаточно, чтобы $%g(x^3)$% делился на $%f(x)$%. Остаток от деления $%g(x^3)=x^4+ax^9+bx^6+cx^3+d$% на $%f(x)=x^4+x-1$% равен $%(c-b+a-1)x^3+(b-2a+3)x^2+(a-3)x+d+1$%. Приравнивая к нулю все его коэффициенты, находим $%d=-1$%, $%a=3$%, $%b=3$%, $%c=1$%. Итого имеем $%g(x)=x^4+3x^3+3x^2+x-1$%. Из общих соображений следует, что такой многочлен единствен (с точностью до постоянного множителя).

Это как бы общий способ, но можно заметить, что $%x^4+x-1=0$% означает $%x(x^3+1)=1$%. Возводя в куб, имеем $%x^3(x^3+1)^3=1$%, и тогда ясно, что $%y=x^3$% будет корнем уравнения $%y(y+1)^3-1=0$%, что приводит к тому же ответу.

ссылка

отвечен 8 Июн '15 23:17

@falcao: Собирался написать решение из $%x^3(x^3+1)^3=1$%, но Вы уже написали.

(8 Июн '15 23:24) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: а я первоначально решал очень длинно, рассматривая произведение выражений вида $%x^3-x_i^3$%, и используя корни 3-й степени из единицы. Когда нашёл ответ, понял, что есть более простой путь.

(8 Июн '15 23:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,775
×323

задан
8 Июн '15 22:48

показан
1042 раза

обновлен
9 Июн '15 11:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru