Какое наибольшее количество точек координатной плоскости можно отметить в кольце $%\{(x;y)| 1< x^2 + y^2<2\}$% так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не меньше 1.

(в двойном неравенстве: знаки неравенства должны быть нестрогие и х и у в квадрате)

задан 8 Июн '15 23:08

изменен 9 Июн '15 22:49

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Это задача № 17 из действующего турнира - https://dl.dropboxusercontent.com/u/15765938/TYM/2015/TYM-2015-PROBLEMS.pdf

Подождите до 01 ноября 2015 года!

(8 Июн '15 23:10) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ответ: $%8$%. Постройте квадрат описанный около окружности радиуса $%1$%. Сторона этого квадрата равна $%2$%. Причем вместе с этим этот квадрат окажется вписанным в окружность радиуса $%\sqrt2$%. Т.е наш квадрат со стороной $%2$% находится в указанном в условии кольце. А теперь отметим $%8$% точек: четыре в вершинах этого квадрата и четыре в серединах сторон этого квадрата. Легко убедится, что эти $%8$% точек удовлетворяют условию задачи. Значит, можно отметить $%8$% точек.

Пусть в указанном кольце отмечено некое количество точек, которые удовлетворяют условию. Выберем из этих точек две произвольные точки и соединим их лучами с общим центром наших окружностей. Доказажем утверждение, согласно которому угол между этими лучами получится не меньшим $%41$% градуса (для произвольных двух выбранных точек). Последнее утверждение назовем центральной гипотезой. Доказательство центральной гипотезы приведу позже, а пока допустим, что я ее уже доказал и решим задачу с ее использованием. Пусть в кольце отмечено $%n$% точек. Каждую из этих точек соединим лучом с центром окружностей - всего получим $%n$% лучей. Соседними будем называть такие две любые точки, что между лучами, отвечающими этим точкам, нет других лучей. А лучи отвечающие этим точкам будем называть соседними лучами. Согласно центральной гипотезе угол между соседними лучами должен быть не менее $%41$% градуса. Значит, если найти сумму углов между всеми соседними лучами, то эта сумма окажется не меньшей, чем $%41n$% градусов. С другой стороны, эта сумма должна быть равна $%360$% градусов. Получаем, что $%41n\le 360$%, откуда $%n \le 8$%. Осталось доказать центральную гипотезу.

Пусть $%O -$% центр наших окружностей, $%A$% и $%B -$% точки, которые находятся внутри нашего кольца. Центральная гипотеза утверждает, что, если $%|AB|<1$%, то угол $%AOB$% не меньший чем $%41$% градус. Докажем центральную гипотезу. Для удобства обозначим: $%|OA|=a, |OB|=b, \angle AOB = \varphi$%. Поскольку точки $%A, B$% находятся в кольце, то $%1 \le a \le \sqrt 2,1 \le b \le \sqrt 2$%. Из треугольника $%AOB$% по теореме косинусов получаем: $%a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi = |AB|^2 \ge 1$%, откуда получим: $% \cos \varphi \le \frac{ a^2+b^2 - 1}{2ab} $%. Я хочу доказать, что имеет место неравенство $$\frac{a^2+b^2 - 1}{2ab} \le 3/4. $$ Если я это смогу доказать, то это будет значить, что имеет место неравенство $%\cos \varphi \le 3/4$%, а следовательно $%\varphi \ge \arccos \frac 34 >$% 41 градус, что собственно и требуется доказать в центральной гипотезе. Значит нам осталось доказать, что если $%1 \le a \le \sqrt 2,1 \le b \le \sqrt 2$%, то $$\frac{a^2+b^2 - 1}{2ab} \le 3/4. $$ Докажем это. Обозначим $%x=\sqrt2 - a, y=\sqrt 2 - b$%. Тогда $%0 \le x \le \sqrt2 - 1, 0 \le y \le \sqrt2 - 1$%. Следовательно, $%0 \le \sqrt2 \cdot x \le 2 - \sqrt2 <1$%. Аналогично $%0 \le \sqrt2 \cdot y \le 2 - \sqrt2 <1$%. Так как $%0 \le \sqrt2 x < 1$%, то $%(\sqrt2 x)^2 \le \sqrt2 x$%, откуда $%2x^2 - \sqrt 2 x \le0$%. Аналогично $%2y^2 - \sqrt 2 y \le0$%. Сложив два последних неравенства, получим: $$2x^2+2y^2 - \sqrt2x - \sqrt2 y \le0$$. С другой стороны, $%3xy \ge 0$%. Поэтому на основании двух последних неравенств получим: $%2x^2+2y^2 - \sqrt2x - \sqrt2 y \le 3xy$%. А теперь, если в последнее неравенство вместо $%x$% и $%y$% подставить $%x=\sqrt2 - a, y=\sqrt2 - b$% и затем раскрыть все скобки, то получим, что $%2a^2+2b^2 - 2 \le 3ab$%, откуда $$\frac{a^2+b^2 - 1}{2ab} \le 3/4. $$ что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 22 Дек '15 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×30

задан
8 Июн '15 23:08

показан
816 раз

обновлен
22 Дек '15 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru