Одна из сторон треугольника разделена в отношении $%p:q$%, а другая - $%m:n:k$%. Полученные точки деления сторон соединены с противоположными вершинами треугольника отрезками. Найдите отношение площади данного треугольника к площади четырехугольника, стороны которого лежат на трех таких отрезках и одной из сторон треугольника.

задан 9 Июн '15 12:47

2

При помощи теоремы Ван-Обеля можно найти все отношения, в которых делятся пересекающиеся отрезки. Из этих соображений легко вычисляется отношение площадей. К сожалению, у меня не хватило терпения довести вычисления до явной формы ответа.

(9 Июн '15 21:48) falcao

@falcao: На днях попытаюсь навести все свои вычисления, без использования теоремы Ван-Обеля (по крайней мере в явном виде)

(9 Июн '15 23:04) Роман83

@Роман83: это само по себе не так принципиально, потому что можно сделать несколько дополнительных построений в виде параллельных линий, а ответ будет тот же самый, так как он не зависит от методов подсчёта. Я поленился считать до конца, поскольку мне показалось, что в ответе не произойдёт существенных упрощений или сокращений. Хотя я в этом на сто процентов не уверен.

(9 Июн '15 23:13) falcao

@falcao: ответа в явном виде у меня нет, наверное он достаточно громоздкий

(9 Июн '15 23:27) Роман83
1

@falcao, @Роман83 - у меня получился и в явном виде. Да, громоздкий (произведение трех дробей). Я решал через геометрию масс. Если в вершины тр-ка закинуть массы p(n+k), q(n+k) и pm соответственно (вот соображайте сами, какие куда), то центр масс системы окажется, с одной стороны, на отрезке AA', а с другой - на BB'. Таким образом, он должен совпасть с точкой D пересечения AA' и BB', и из правила рычага мы узнаем отношение AD:DA', а значит, и AD:AA'. Да, это тоже самое, что даёт теорема Ван-Обеля, но мне так легче воспринимать результат.

(11 Июн '15 10:50) knop

Аналогично (симметрично) кидая другие массы, получаем AE:AA". Дальше моментально находим отношение площади DEA"A' к AA"A' - это совсем просто - ну и аналогичная пропорция даст отношение AA"A' к площади ABC. Перемножая два найденных отношения, получаем искомое

(11 Июн '15 10:51) knop
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×383
×231

задан
9 Июн '15 12:47

показан
295 раз

обновлен
11 Июн '15 10:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru