Вершины острых углов прямоугольных треугольников перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина прямого угла – по прямой, к ним перпендикулярной. Какую линию описывает при этом основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника?

задан 9 Июн '15 15:24

изменен 9 Июн '15 22:07

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Валентиначка, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(9 Июн '15 22:08) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%l_1$% и $%l_2$% -- параллельные прямые, и $%l$% им перпендикулярна. Рассмотрим прямоугольный треугольник $%ABC$%, у которого $%A\in l_1$%, $%B\in l_2$%, $%C\in l$%. Пусть $%D$% -- основание высоты, опущенной на гипотенузу. Также положим $%P_i=l\cap l_i$% при $%i=1,2$%. Докажем, что угол $%P_1DP_2$% является прямым, откуда будет следовать, что точка $%D$% лежит на окружности, построенной на $%P_1P_2$% как на диаметре.

Пусть $%C$% лежит между $%P_1$% и $%P_2$%. Построим на $%AC$% как на диаметре окружность. По свойству угла, опирающемуся на диаметр (и обратного ему), точки $%P_1$% и $%D$% лежат на этой окружности. Отсюда $%\angle P_1DC=\angle P_1AC$% по свойству вписанных углов. Аналогично, строя окружность с диаметром $%BC$%, получаем равенство углов $%\angle P_2DC=\angle P_2BC$%.

Угол $%P_1DP_2$% равен сумме углов $%P_1DC$% и $%P_2DC$%. Равные им углы в сумме дают прямой угол, поскольку они являются острыми углами прямоугольных треугольников, у которых дополнительные острые углы -- это $%P_1CA$% и $%P_2CB$%. И сумма их величин равна разности развёрнутого угла $%P_1CP_2$% и прямого угла $%ACB$%.

Случаи, когда точка $%C$% не лежит между $%P_1$% и $%P_2$%, разбираются аналогично. Таким образом, линией является окружность (или её дуга).

ссылка

отвечен 9 Июн '15 21:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,527
×713

задан
9 Июн '15 15:24

показан
311 раз

обновлен
9 Июн '15 22:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru