Теорема: Пусть дана линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. $%\dot{x}=Ax$% матрица $%A$% имеет $%m$% различных собственных значений $%k_{1},k_{2},...,k_{m}$% и $%s (s\geqslant m)$% собственных линейно-независимых векторов. Тогда любое решение решение однородной системы уравнений имеет вид $%x=f_{1}(t)e^{k_{1}t}+...f_{m}(t)e^{k_{m}t}$% где $%f_{i}(t)e^{k_{i}t}$% вектор функция каждая координата которой есть многочлен степень которого не превосходит разности между кратностью собственного значения $%k_{i}$% и числом линейно-независимых собственных векторов, соответствующих этому собственному значению.

Подскажите книгу(или докажите сами), где подробно расписано доказательство этого утверждения. Доказательство видел лишь в книге Рождественского, но ни как ни могу понять его до конца. Заранее благодарен.

Рождественский с помощью линейных преобразований приводит матрицу а к виду:

$%\begin{pmatrix} c_{1} & 0 & ... & 0 & \ast & \ast &...& \ast\\ 0 & c_{2} & ... & 0 & \ast & \ast &...& \ast\\ 0&0& ... & 0 & \ast & \ast &...& \ast\\ 0& 0 & ... &c_{s} & \ast & \ast &...& \ast\\ 0& ...&...&0 &c_{s+1} & \ast &...& \ast\\ 0&....&....&0& 0 &c_{s+2} & ... &\ast\\ ...&....&...&...&... &... &...&...\\ 0&...&...&0&0&0&...&c_{n}\\ \end{pmatrix}$%

Где $%c_{i}$% - это собственные значения матрицы A, $%\ast$% - некоторое число не равное нулю.

И говорит, что среди первых $%s$% элементов каждое собственное значение $%k_{i}$% встречается столько раз сколько линейно-независимых собственных векторов соответствует этому собственному значению. Вопрос в следующем: почему оно встречается именно столько раз, и почему только среди первых $%s$% элементов, а что с остальными тогда c $%c_{s+1}...$%, почему среди них оно будет встречаться другое количество раз.

задан 9 Июн '15 23:53

изменен 10 Июн '15 1:17

falcao's gravatar image


272k83751

Может быть, проще было бы прояснить то, что непонятно в доказательстве? Дело в том, что вещи такого типа везде должны доказываться примерно одинаково.

(10 Июн '15 0:00) falcao

@denis: матрицу мы записываем в базисе, который задаём сами. Здесь известно, что имеется $%s$% собственных векторов. Они образуют линейно независимую систему, которую можно дополнить до базиса. Мы сами их поставили на первые $%s$% мест, и поэтому столбцы выглядят именно так.

(10 Июн '15 1:21) falcao

В принципе, можно посмотреть теорию здесь в соответствующем параграфе.

(10 Июн '15 1:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,158

задан
9 Июн '15 23:53

показан
373 раза

обновлен
10 Июн '15 1:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru