пирамида - Вычислить объем пирамиды

Рассмотрим основание высоты $%SO$%. Очевидно, что точка $%O$% равноудалена от вершин, так как треугольники $%SOA$%, $%SOB$%, $%SOC$% равны по общему катету и противолежащему острому углу. Значит, $%O$% есть середина гипотенузы $%AB$%. При этом углы $%SAB$%, $%SBA$% равны 60 градусам, и треугольник $%SAB$% равносторонний. В сечении шара этой плоскостью получается большой круг, поэтому радиус описанной относительно треугольника окружности равен радиусу шара, то есть 6. Отсюда длина гипотенузы равна $%c=6\sqrt3$%.

Зная гипотенузу и острый угол $%\alpha$%, находим площадь. Во-первых, $%b=c\cos\alpha$%; во-вторых, $%S=\frac12bc\sin\alpha=\frac14c^2\sin2\alpha$%, где удвоенный угол равен 30 градусам. Поэтому $%S=\frac18c^2=\frac{27}2$%. Высота пирамиды равна $%h=\frac{\sqrt3}2c=9$% из правильно треугольника, поэтому объём пирамиды равен $%V=\frac13Sh=\frac{81}2$%.