Имеется бесконечный лист клетчатой бумаги (все клеточки - квадраты со стороной 1 см). Рассматриваются всевозможные отрезки длиной 10 см, не параллельные линиям сетки. Какое наибольшее и наименьшее число линий сетки может пересечь такой отрезок? (Если конец отрезка лежит на линии, это тоже считается пересечением.)

задан 10 Июн '15 23:17

@sapere aude: надо уточнить один момент. Допустим, что отрезок проходит через узел сетки. При этом он пересекает две линии -- одну горизонтальную и одну вертикальную. Естественно предположить, что это пересечение считается за одно. Тогда условие можно сформулировать так: в каком наибольшем и наименьшем количестве точек отрезок может пересекаться с линиями сетки? Мне такая трактовка представляется наиболее естественной. Это ли имелось в виду?

(10 Июн '15 23:31) falcao

Да, думаю так. По-крайней мере именно Вами озвученную задачу я пытался решать.

(11 Июн '15 0:29) sapere aude

@sapere aude, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(11 Июн '15 9:34) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть отрезок образует острый угол $%\alpha$% с одной из осей координат. Тогда расстояния между соседними точками пересечения с каждым из семейством параллельных осей составляют $%\frac1{\cos\alpha}$% и $%\frac1{\sin\alpha}$% соответственно.

Очевидно, что хотя бы одно из этих чисел не больше $%\sqrt2$%. Тогда получается, что точек пересечения хотя бы с одним из этих семейств не меньше $%7$%. Действительно, если бы их было 6 или меньше, то получилось бы не более 5 промежутков между ними, и ещё два промежутка с краю общей длиной менее $%7\sqrt2 < 10$%. Пример, когда точек пересечения ровно 7, легко построить, поместив отрезок по диагонали. При этом с краю будут отрезки длиной $%5-3\sqrt2 < \sqrt2$%, а внутри будет 6 отрезков (диагоналей клеток). Это даёт $%7$% точек пересечения с координатными линиями.

Теперь рассмотрим оценку сверху. Прежде всего, построим пример с 16 точками пересечения. Если провести тот же отрезок под углом 45 градусов, проходящий через диагонали единичных квадратиков, начинающийся в одном из узлов, то в нём поместится 7 отрезков длиной $%\sqrt2$%, что даст 8 точек пересечения. При этом на конце останется небольшой "хвостик" длиной $%10-7\sqrt2$%. Опуская этот отрезок немного вниз (на расстояние, не превосходящее $%5\sqrt2-7$%), мы вместо одной точки пересечения в каждом из узлов получим две, и всего их станет $%16$%.

Покажем, что $%17$% точек пересечения быть уже не может. Действительно, в отрезок длиной 10 целиком помещается не более $%10\cos\alpha$% отрезков длиной $%\frac1{\cos\alpha}$%, и это даёт не более $%10\cos\alpha+1$% точек пересечения с одним из семейств параллельных прямых. С другим из семейств будет не более $%10\sin\alpha+1$% точек пересечения, и тогда вместе их будет не больше $%10(\cos\alpha+\sin\alpha)+2=10\sqrt2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)+2\le10\sqrt2+2 < 17$%.

ссылка

отвечен 11 Июн '15 2:04

@falcao, спасибо, очень хорошее доказательство оценки

(11 Июн '15 10:53) knop
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,561
×42

задан
10 Июн '15 23:17

показан
980 раз

обновлен
11 Июн '15 12:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru