Множество действительных чисел покрыто интервалами. Точки, покрытые конечным количеством интервалов, покрашены в черный цвет, остальные - в белый.

а) Может ли так случиться, что все рациональные числа покрашены в белый цвет, а все иррациональные - в черный?

б) А наоборот?

задан 11 Июн '15 0:49

@sapere aude, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(11 Июн '15 18:22) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
2

б) Построим пример. Для каждого натурального $%n$% рассмотрим множество интервалов вида $%(\frac{k}{n!};\frac{k+1}{n!})$%, где $%k\in\mathbb Z$%. Назовём это множество $%n$%-м слоем. Оно покрывает все иррациональные числа. Беря объединение по всем $%n\ge1$%, получим семейство интервалов, покрывающих каждое иррациональное число бесконечное число раз, то есть иррациональные числа имеют белый цвет.

Каждое рациональное число покрыто лишь конечным числом интервалов, поскольку $%\frac{p}{q}$%, где $%p\in\mathbb Z$%, $%q\in\mathbb N$%, не входит в $%n$%-й слой при $%n\ge p$%. Поэтому все рациональные числа покрашены в чёрный цвет.

В данном примере целые числа не покрыты ни одним интервалом, и если требуется покрытие всей прямой, то можно добавить "нулевой слой" в виде интервалов с центрами в целочисленных точках радиусом $%1/2$%. Ясно, что наличие этого слоя на цвета не влияет.

а) Здесь ответ отрицательный. Предположим, что покрытие из условия возможно. Обозначим через $%X_n$% множество точек, покрытых ровно $%n$% интервалами. Докажем, что $%X_n$% нигде не плотно, то есть в любом интервале содержится интервал, не имеющий с $%X_n$% общих точек.

Рассмотрим произвольное рациональное число из данного интервала $%J$%. По условию, оно входит в бесконечное число интервалов покрытия. Выберем из них интервалы $%I_1$%, ... , $%I_{n+1}$%. Пересечение конечного числа интервалов, имеющих общее пересечение, есть некоторый интервал $%I$%. По построению, он не имеет с $%X_n$% общих точек, так как покрыт не менее чем $%n+1$% интервалом. Тогда $%I\cap J$% -- искомый интервал.

Каждое иррациональное число покрыто конечным число интервалов, то есть принадлежит некоторому $%X_n$%. По теореме Бэра, числовая прямая не может быть представлена в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. В нашем случае получилось, что $%\mathbb R=\mathbb Q\cup X_1\cup X_2\cup\cdots$%, где множество рациональных чисел рассматривается как счётное объединение одноточечных, а потому нигде не плотных множеств. Это даёт противоречие.

ссылка

отвечен 11 Июн '15 18:08

изменен 12 Июн '15 1:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,616
×480

задан
11 Июн '15 0:49

показан
313 раз

обновлен
12 Июн '15 1:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru