1
1

Интересует как решать пункты В и Ж

alt text

задан 11 Июн '15 17:12

@Leva319: тут слишком много упражнений, и чтобы это не шло по категории "домашнее задание", давайте сосредоточимся на части из них, где есть что-то нетривиальное. Скажем, в пункте а) очевидно, что это $%x^2-2$%.

(11 Июн '15 17:19) falcao

Я написал поверх условия, что интересуют лишь пункты В и пункт Ж

Касательно пункта В есть мысль что это (x^105) - 9, но я не знаю как доказать что это минимальный многочлен

(11 Июн '15 17:57) Leva319

@Leva319: сорри, я не заметил самой верхней строки.

(11 Июн '15 18:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

в) Достаточно доказать, что многочлен $%x^{105}-9$% неприводим над $%\mathbb Q$%. Его особенность в том, что критерий Эйзенштейна применить нельзя, поэтому поступим по-другому. Допустим, что многочлен приводим. Тогда его можно представить в виде $%f(x)g(x)$%, где степени $%f$% и $%g$% меньше 105, и оба этих многочлена имеют рациональные коэффициенты.

Разложим $%f(x)$% и $%g(x)$% на линейные множители над полем $%\mathbb C$%. Очевидно, что все комплексные корни исходного уравнения по модулю равны $%\sqrt[105]9$%. Поэтому, если $%\deg f=k$%, то модуль свободного члена многочлена $%f(x)$% будет равен произведению модулей корней, то есть $%9^{k/105}=3^{2k/105}$%. Показатель степени является дробным (нецелым) числом ввиду $%1\le k < 105$%. Числа этого вида иррациональны, что доказывается по той же схеме, что и иррациональность числа $%2^{1/2}=\sqrt2$%. Пришли к противоречию.

ж) Пусть $%\beta=1+\sqrt2$%. Положим $%\alpha=\sqrt3+\sqrt2$%. Тогда $%\alpha^{-1}=\sqrt3-\sqrt2\in K=\mathbb Q(\alpha)$%. Следовательно, $%\sqrt2=\frac12(\alpha-\alpha^{-1})\in K$%, то есть $%\beta\in K$%. Тем самым, многочлен первой степени $%x-\beta\in K[x]$% будет минимальным многочленом числа $%\beta$% над $%K$%.

ссылка

отвечен 11 Июн '15 18:35

@falcao можно также пункт "е" пожалуйста

(14 Июн '16 21:07) lara

Можно. Пусть $%x=\sqrt2+\sqrt3$%. Тогда $%(x-\sqrt2)^2=3$%. После раскрытия скобок будет $%x^2-1=2x\sqrt2$%. Возводим ещё раз в квадрат, и получаем уравнение 4-й степени.

Можно и по-другому: $%x^2-5=2\sqrt6$%, после чего так же точно возводим в квадрат и упрощаем.

(14 Июн '16 22:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,149

задан
11 Июн '15 17:12

показан
1883 раза

обновлен
14 Июн '16 22:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru