|
В пункте А достаточно ли сказать, что все элементы (2,8) я перевожу в некоторые элементы (2,16) по формуле (x,y) --> (x,2y) и тогда ответ нет? Если нет, то как правильно решать? В пункте Б ответ нет, т.к. в искомой группе элементов порядка 4 - 6, а в данной - 12. Я прав? Пункт В, думаю, аналогичен пункту Б, так что его думаю решить после пояснений здесь. задан 11 Июн '15 23:47 
Leva319 |
|
а) Группа $%\mathbb Z_{16}$% содержит подгруппу $%\mathbb Z_8$%, поэтому в группе $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% есть подгруппа $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_8$%. Ответ "да". б) В группе $%\mathbb Z_{16}$% имеется ровно два элемента порядка 4: это $%4y$% и $%12y=-4y$%, где $%y$% -- образующий. Отсюда следует, что в $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% элементов порядка 4 имеется ровно четыре. В группе $%\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_4$% все элементы удовлетворяют условию $%4g=0$%. Из них четыре удовлетворяют условию $%2g=0$%. Поэтому элементов 4-го порядка будет 12. Это больше, чем их имеется в предыдущей группе, поэтому ответ "нет". в) Уравнение $%2g=0$% в группе $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% имеет 4 решения, а в $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$% оно имеет 8 решений. Ответ "нет". отвечен 12 Июн '15 0:03 
falcao Спасибо! А достаточно ли в пункте Б сказать, что, например, в группе Z4 x Z4 есть элемент (3,3), а в группе Z2 x Z16 - нет, поэтому ответ нет.
(12 Июн '15 18:24)
Leva319
@Leva319: боюсь, что я не понял вашу мысль. Что такое элемент (3,3)? Дело в том, что при изоморфизме один элемент может переходить в какой-то другой. Сохраняется при этом, например, порядок, но если это был элемент порядка 4, то в другой группе он тоже есть.
(12 Июн '15 18:34)
falcao
Z4 - группа сложения по модулю 4, с 4мя элементами 0,1,2,3. Разве нет?
(12 Июн '15 18:54)
Leva319
@Leva319: если Вы это имели в виду, то при изоморфизме элемент (3,3) вовсе не обязан переходить в (3,3). Он может перейти в любой элемент порядка 4.
(12 Июн '15 21:12)
falcao
Почему идет речь об изоморфизме? Мы ведь доказываем что какая-то группа является подгруппой данной группы. А по определению подгруппа это подмножество + условия. Т.е. (3,3) должен содержаться в группе
(12 Июн '15 21:54)
Leva319
показано 5 из 6
показать еще 1
|