alt text

В пункте А достаточно ли сказать, что все элементы (2,8) я перевожу в некоторые элементы (2,16) по формуле (x,y) --> (x,2y) и тогда ответ нет? Если нет, то как правильно решать?

В пункте Б ответ нет, т.к. в искомой группе элементов порядка 4 - 6, а в данной - 12. Я прав?

Пункт В, думаю, аналогичен пункту Б, так что его думаю решить после пояснений здесь.

задан 11 Июн '15 23:47

изменен 12 Июн '15 10:24

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
3

а) Группа $%\mathbb Z_{16}$% содержит подгруппу $%\mathbb Z_8$%, поэтому в группе $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% есть подгруппа $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_8$%. Ответ "да".

б) В группе $%\mathbb Z_{16}$% имеется ровно два элемента порядка 4: это $%4y$% и $%12y=-4y$%, где $%y$% -- образующий. Отсюда следует, что в $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% элементов порядка 4 имеется ровно четыре.

В группе $%\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_4$% все элементы удовлетворяют условию $%4g=0$%. Из них четыре удовлетворяют условию $%2g=0$%. Поэтому элементов 4-го порядка будет 12. Это больше, чем их имеется в предыдущей группе, поэтому ответ "нет".

в) Уравнение $%2g=0$% в группе $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{16}$% имеет 4 решения, а в $%\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$% оно имеет 8 решений. Ответ "нет".

ссылка

отвечен 12 Июн '15 0:03

Спасибо! А достаточно ли в пункте Б сказать, что, например, в группе Z4 x Z4 есть элемент (3,3), а в группе Z2 x Z16 - нет, поэтому ответ нет.

(12 Июн '15 18:24) Leva319

@Leva319: боюсь, что я не понял вашу мысль. Что такое элемент (3,3)? Дело в том, что при изоморфизме один элемент может переходить в какой-то другой. Сохраняется при этом, например, порядок, но если это был элемент порядка 4, то в другой группе он тоже есть.

(12 Июн '15 18:34) falcao

Z4 - группа сложения по модулю 4, с 4мя элементами 0,1,2,3. Разве нет?

(12 Июн '15 18:54) Leva319

@Leva319: если Вы это имели в виду, то при изоморфизме элемент (3,3) вовсе не обязан переходить в (3,3). Он может перейти в любой элемент порядка 4.

(12 Июн '15 21:12) falcao

Почему идет речь об изоморфизме? Мы ведь доказываем что какая-то группа является подгруппой данной группы. А по определению подгруппа это подмножество + условия. Т.е. (3,3) должен содержаться в группе

(12 Июн '15 21:54) Leva319

@Leva319: нет, здесь всё с точностью до изоморфизма рассматривается. Когда спрашивается, есть ли в какой-то группе подгруппа определённого типа, то это значит, есть ли подгруппа, изоморфная определённому прямому произведению. Это общее подразумеваемое правило.

(12 Июн '15 22:09) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,611

задан
11 Июн '15 23:47

показан
866 раз

обновлен
12 Июн '15 22:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru