Как определить, градиент направлен по внутренней или по внешней нормали к поверхности, которую задаёт функция?

Как определить, в каком направлении градиент быстрее всего растёт - ведь с другой стороны, можно сказать, что в противоположном направлении он тоже быстрее всего растёт - это лишь вопрос системы координат, да и без учёта этой условности - как определить, в какую сторону в данной системе координат градиент быстрее всего растёт?

задан 12 Июн '15 14:59

изменен 13 Июн '15 8:14

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Можно конкретную задачу? Просто если известно, что поверхность - это граница какой-то ограниченной области, то задача довольно сложна в общем виде

(12 Июн '15 15:50) trongsund

@trongsund допустим, поверхность $%x^2+z^2=a^2+c^2$%, цилиндрическая.

(12 Июн '15 16:04) LeMonde

@LeMonde: если поверхность задана в виде $%z=f(x,y)$%, то внешний вектор нормали направлен "вверх", то есть $%z$%-координата положительна.

(13 Июн '15 1:43) falcao

@LeMonde, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(13 Июн '15 8:14) Виталина

@falcao, $%z = x^2+y^2$% ... "вверх" при положительном $%z$% направлен вектор внутренней нормали...

(13 Июн '15 12:53) all_exist

@all_exist: а почему так? Рассмотрим, например, верхнюю часть поверхности шара. Тогда всё будет наоборот. Боюсь, что тут всё "оборачиваемо", то есть зависит от выпуклости-вогнутости, верха-низа, и так далее.

(13 Июн '15 13:03) falcao

@falcao, то есть зависит от выпуклости-вогнутости - ну, можно придумать пример поверхности с переменной выпуклостью ... типа того же параболоида с вдавленной вершиной ... там и на "выпуклой" и на "вогнутой" части градиент с положительным $%z$% будет внутренней нормалью ...

(14 Июн '15 13:24) all_exist

@all_exist: если поверхность ориентируема, то у неё можно произвольным образом задать "верх" и "низ". Этот выбор всё однозначно определяет. Как правило, его стараются осуществить "естественно", учитывая соображения типа "верха-низа". Поэтому я и предложил вариант с вектором, который "смотрит" вверх. Но вообще-то в аккуратных формулировках задач авторы сами должны задавать внешнюю нормаль.

(14 Июн '15 15:06) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если умножить уравнение поверхности на минус один, то множество не поменяется, а градиент поменяет направление на противоположное... посему общего признака без дополнительных знаний сформулировать видимо невозможно...

градиент быстрее всего растёт? - не понятно о чём это Вы... Градиент - это вектор, который указывает направление наискорейшего роста функции... а противоположное направление - наискорейшего убывания функции ...

ссылка

отвечен 12 Июн '15 17:33

Я имел в виду, что направление наискорейшего роста отличается от направления наискорейшего убывания только системой координат, разве не так?

(12 Июн '15 18:51) LeMonde

@LeMonde, при чём тут система координат?... $%grad\; f$% - это направление роста, а $%(-grad\; f)$% - это направление убывания... они отличаются только знаком ...

(13 Июн '15 12:49) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,664
×31
×19

задан
12 Июн '15 14:59

показан
1396 раз

обновлен
14 Июн '15 15:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru