Определить с помощью символа Лежандра, имеют ли решение сравнения. Сивол Лежандра рассматривать как символ Якоби. $$x^{2}\equiv 506 (mod 1567) x^{2}\equiv -506 (mod 1567)$$

задан 14 Июн '15 21:44

изменен 15 Июн '15 13:38

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%(\frac{506}{1567})=(\frac2{1567})(\frac{253}{1567})=(\frac{253}{1567})=(\frac{1567}{253})=(\frac{49}{253})=(\frac7{253})^2=1$%

На случай, если мы "не заметили" того, что $%49$% является квадратом, действуя по алгоритму, избегающему разложения на множители, то можно продолжить так:

$%(\frac{49}{253})=(\frac{253}{49})=(\frac8{49})=(\frac2{49})^3=1$%.

Примечания: символ Лежандра (а также символ Якоби) числа 2 по модулю $%1567$% равен 1, так как $%1567\pm1$% делится на 8. Число $%253$% имеет вид $%4k+1$%, поэтому при использования закона взаимности Гаусса знак символа Якоби не меняется. То же для символов с участием числа $%49$%. Также использовано то, что $%49-1$% кратно 8.

Поскольку $%1567=4k+3$%, символ Лежандра числа $%-1$% по данному модулю равен $%-1$%. Отсюда $%(\frac{-506}{1567})=(\frac{-1}{1567})(\frac{506}{1567})=-(\frac{506}{1567})=-1$%.

Итого: первое сравнение имеет решения; второе не имеет.

ссылка

отвечен 14 Июн '15 22:07

Большое спасибо!

(14 Июн '15 22:14) shef
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,454

задан
14 Июн '15 21:44

показан
419 раз

обновлен
14 Июн '15 22:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru