Доказать неравенство $$\frac {1}{3} + \frac {2}{3^4} +\frac {3}{3^9} +...+\frac {n}{3^{n^2}} < \frac {1}{2} $$

задан 15 Июн '15 14:27

10|600 символов нужно символов осталось
3

Ясно, что такая сумма не превосходит $$\int_0^{n}\frac{xdx}{3^{x^2}}=(-\frac{3^{-x^2}}{2\ln 3})|_0^n=\frac{1}{2\ln 3}-\frac{3^{-n^2}}{2\ln 3},$$ которая меньше $%1/2$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '15 14:46

изменен 15 Июн '15 14:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно еще так: $%\frac{k}{3^{k^2}}<=\frac{1}{3^k}$% (равенство достигается только при $%k=1$%). Тогда сумма ряда меньше, чем $%\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i}<\sum_{i=1}^{\inf}\frac{1}{3^i}=\frac{1}{2}$% . Первое неравенство доказывается домножением на общий знаменатель и рассмотрением функции $%y=3^x-x$%. Она положительна для x>=1, так как возрастает при $%x>1$%, так как производная больше 0 и $%y(0)=2>0$%.

ссылка

отвечен 17 Июн '15 10:32

изменен 17 Июн '15 11:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
15 Июн '15 14:27

показан
272 раза

обновлен
17 Июн '15 10:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru