математика - Является ли функция гармонической (УМФ)

Понятно, что можно взять линейную функцию $%u=a_0+a_1x_1+\ldots+a_nx_n$%, которая является гармонической... тогда рассматриваемое произведение частных производных будет константой, что тоже является гармонической функцией...

Посмотрим, что получается в общем случае...

Если продифференцировать в лоб, то $$ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big(u_x\cdot u_y\Big) = \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+2\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}+ \frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x^2} $$ $$ \frac{\partial^2}{\partial y^2}\Big(u_x\cdot u_y\Big) = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+ 2\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y }\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial^3 u}{\partial y^3} $$ Тогда при $%n=2$% получаем, что $$ \Delta_2 \Big(u_x\cdot u_y\Big)= \frac{\partial}{\partial x}\Big(\Delta_2 u\Big)\cdot \frac{\partial u}{\partial y} +2\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y }\cdot \Delta_2 u+ \frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Big(\Delta_2 u\Big) = 0, $$ то есть функция гармоническая...

Если $%n > 2$%, то можно привести пример гармонической функции $%u=x\cdot y\cdot z$%, для которой $$ u_x\cdot u_y = x\cdot y\cdot z^2 $$ не является гармонической...