Совокупность $%A$% состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в $%A$% больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из $%A$% равно $%210$%. Для любых двух чисел из $%A$% их наибольший общий делитель больше $%1$%. Произведение всех чисел из $%A$% делится на $%1920$% и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит $%A$%.

задан 15 Июн '15 17:13

изменен 15 Июн '15 17:14

10|600 символов нужно символов осталось
3

Поскольку НОК равен $%2\cdot3\cdot5\cdot7$%, каждое из чисел является произведением каких-то из этих множителей. Произведение делится на $%2^7$% (это делитель 1920), то есть не менее 7 чисел кратны двум. При этом никакое число не делится на 4, так как их НОК не делится.

Предположим, что найдутся 8 чисел, делящихся на 2. Тогда они представимы в виде $%2\cdot3^a\cdot5^b\cdot7^c$%, где $%a,b,c\in\{0;1\}$%. Таких чисел всего восемь, то есть больше 8 их быть не может, так как они все разные. Если их ровно 8, то среди них встречается число 2 (при $%a=b=c=0$%). Если другие числа есть помимо этих восьми, то с 2 у них уже не будет общих нетривиальных делителей. Значит, больше чисел нет, но тогда произведение того, что мы рассмотрели, равно $%2^8\cdot3^4\cdot5^4\cdot7^4$%, то есть является квадратом. Значит, этот вариант отпадает.

Получается, что чисел, делящихся на 2, ровно 7, но тогда есть ещё числа. Если бы среди семи чисел было число 2, то никакое из оставшихся не подошло бы. Значит, 2 отсутствует, и наши 7 чисел имеют вид $%2\cdot3^a\cdot5^b\cdot7^c$% для всех $%a,b,c\in\{0;1\}$% кроме случая $%a=b=c=0$%. Любое из оставшихся чисел не делится на 2, и имеет нетривиальный общий делитель и с $%2\cdot3$%, и с $%2\cdot5$%, и с $%2\cdot7$%, то есть оно делится на $%3\cdot5\cdot7$%, а потому совпадает с ним.

Получается, что чисел всего восемь, и они таковы: $%2\cdot3$%, $%\ 2\cdot5$%, $%\ 2\cdot7$%, $%\ 2\cdot3\cdot5$%, $%\ 2\cdot3\cdot7$%, $%\ 2\cdot5\cdot7$%, $%\ 2\cdot3\cdot5\cdot7$%, $%\ 3\cdot5\cdot7$%. Их произведение делится на 1920 и не является точным квадратом (оно делится на $%2^7$%, но не на $%2^8$%).

ссылка

отвечен 15 Июн '15 20:11

изменен 19 Июн '15 16:16

serg55's gravatar image


8.8k150247

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,128

задан
15 Июн '15 17:13

показан
1108 раз

обновлен
19 Июн '15 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru