Известно, что $%abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0$%.
Доказать, что $%\frac 1{a-1} + \frac 1{b-1} + \frac 1{c-1} + \frac 1{d-1} > 0$%

задан 15 Июн '15 20:53

изменен 15 Июн '15 21:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Это неверно. При первом условии может оказаться, что одно из чисел равно 1, и левая часть неравенства не определена. Кроме того, можно построить явный контрпример: $%a=1/2$%; $%b=c=2$%; $%d=-13/14$%.

(15 Июн '15 23:09) falcao
1

Утверждение неверно, например при $$a=b=c=d=0.$$

(15 Июн '15 23:13) EdwardTurJ

Забыл сказать, что все действительные числа по модулю больше единицы

(16 Июн '15 10:32) guru
10|600 символов нужно символов осталось
1

Продолжая идею, высказанную @EdwardTurJ в комментарии.

Многочлен $%P(x)$% 4-й степени имеет 4 корня, и его график пересекает ось $%Ox$% в четырёх точках, абсциссы которых по модулю больше 1. Полезно нарисовать схематичный график функции; он имеет W-образную форму.

Рассмотрим несколько случаев, в зависимости от того, сколько корней многочлена (с учётом кратности) меньше $%-1$%, и сколько из них больше $%1$%. Легко заметить, что все корни не могут быть одного знака, что ясно из первого равенства в условии.

Пусть ровно один корень больше $%1$%. Тогда из графика видно, что на отрезке $%[-1;1]$% значения функции отрицательны, и $%P(-1)=P(1) < 0$%. При этом точка локального экстремума заключена между $%-1$% и $%1$%, и она является точкой минимума. После прохождения этой точки, функция начинает возрастать, откуда $%P'(1) > 0$%. Тем самым, числа $%P'(1)$% и $%P(1)$% имеют разные знаки, и их частное отрицательно.

Пусть ровно два корня больше $%1$%. Тогда из того же графика видно, что на $%[-1;1]$% значения функции положительны, и $%P(-1)=P(1) > 0$%. При этом точка локального экстремума заключена между $%-1$% и $%1$%, и она является точкой максимума. После прохождения этой точки, функция начинает убывать, и $%P'(1) < 0$%. Числа $%P'(1)$% и $%P(1)$% по-прежнему имеют разные знаки.

Третий случай, когда три корня больше $%1$%, симметричен первому.

ссылка

отвечен 16 Июн '15 21:06

@falcao: Извините, я перенес мой комментарий в ответ, не увидев Вашего ответа.

(16 Июн '15 21:11) EdwardTurJ

Осталось одно мое....

(16 Июн '15 21:12) epimkin

@EdwardTurJ: здесь разница во времени ответа составила считанные минуты. Я фактически реализовал Вашу идею из комментария: после исправления условия стало сразу понятно, что она работает. Основной вклад тут Ваш, поэтому я бы рекомендовал автору вопроса принять Ваш ответ.

(16 Июн '15 21:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,454

задан
15 Июн '15 20:53

показан
286 раз

обновлен
16 Июн '15 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru