|
Докажите неравенство для чисел $%a$%, $%b$% и $%c$%, принадлежащих отрезку от $%0$% до $%1$% включительно $%a^2+b^2+c^2 \ge a^2b +b^2c + c^2a +1$% задан 15 Июн '15 21:59 
guru |
|
Запишем неравенство так: $$a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)\le1.$$ Рассмотрим единичный куб $%ABCDA_1B_1C_1D_1$%. На грани $%ABCD$% разместим параллелепипед $%a\times a\times(1-b)$%, содержащий вершину $%A$%. На грани $%AA_1D_1D$% разместим параллелепипед $%b\times b\times(1-с)$%, содержащий вершину $%A_1$%. На грани $%C_1CDD_1$% разместим параллелепипед $%c\times c\times(1-a)$%, содержащий вершину $%C.$%. Параллелепипеды не пересекутся. отвечен 16 Июн '15 0:33 
EdwardTurJ |
|
Геометрическое решение @EdwardTurJ красиво само по себе, но у меня вот какое алгебраическое рассуждение возникло. Рассмотрим функцию $%f(a)=a^2(1-b)-ac^2+b^2+c^2-b^2c-1$% на отрезке $%a\in[0;1]$%. Она принимает наибольшее значение на концах отрезка, так как при $%1 > b$% ветви параболы направлены вверх, а при $%b=1$% функция линейна, и для неё это тоже верно. Поэтому достаточно доказать два неравенства: $%f(0)\le0$% и $%f(1)\le0$%. В первом случае получается $%f(0)=b^2(1-c)-(c+1)(1-c)=(b^2-1-c)(1-c)$%. Понятно, что $%1-c\le0$%, и $%b^2\le1\le1+c$%. Равенство имеет место при $%c=1$%, а также при $%b=1$%, $%c=0$%. Во втором случае $%f(1)=-b+b^2-b^2c=b(1-b)-b^2c\le0$%. Равенство имеет место при $%b=0$%, а также при $%b=1$%, $%c=0$%. отвечен 16 Июн '15 0:47 
falcao |
@guru, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).