Для $%x,y,z >2$% найдите наименьшее значение выражения $$\frac{x^4}{(y-2)(z-2)}+\frac{y^4}{(x-2)(z-2)}+\frac{z^4}{(y-2)(x-2)}$$

задан 16 Июн '15 13:11

изменен 11 Окт '16 19:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сделаем замену переменных $%a=x-2$%, $%b=y-2$%, $%c=z-2$%. Теперь надо найти минимум функции $%F=\frac{(a+2)^4}{bc}+\frac{(b+2)^4}{ca}+\frac{(c+2)^4}{ab}$% при положительных значениях переменных. Докажем, что он достигается при $%a=b=c=2$% и равен $%192$%.

Прежде всего, из неравенств $%4bc\le(b+c)^2$% и им симметричных, имеем $%F\ge4\left(\frac{(a+2)^4}{(b+c)^2}+\frac{(b+2)^4}{(c+a)^2}+\frac{(c+2)^4}{(a+b)^2}\right)$%. Теперь воспользуемся неравенством о среднем квадратическом и среднем арифметическом: $%\frac{u^2+v^2+w^2}3\ge(\frac{u+v+w}3)^2$%. Из него будет следовать, что $%F\ge\frac43\left(\frac{(a+2)^2}{b+c}+\frac{(b+2)^2}{c+a}+\frac{(c+2)^2}{a+b}\right)^2$%.

Наконец, применим известное неравенство $%\frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}+\frac{u_3^2}{v_3}\ge\frac{(u_1+u_2+u_3)^2}{v_1+v_2+v_3}$% для положительных чисел. Из него следует, что $%F\ge\frac13\left(\frac{(a+b+c+6)^2}{a+b+c}\right)^2$%. Осталось заметить, что функция $%g(x)=\frac{(x+6)^2}x=x+12+\frac{36}x=(\sqrt{x}-\frac6{\sqrt{x}})^2+24$% на положительной полуоси достигает минимума в точке $%x=6$%. Отсюда $%F\ge\frac13g(a+b+c)^2\ge\frac13g(6)^2=192$%, и равенство имеет место при $%x=y=z=4$%.

ссылка

отвечен 11 Окт '16 20:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

По теореме Чебышева :

$$... \ge \frac {1}{3} (x^4+y^4+z^4) \left ( \frac {1}{(z-2)(y-2)} + \frac {1}{(y-2)(z-2)}+ \frac {1}{(z-2)(y-2)} \right ) \ge$$

$$\ge \frac {(x+y+z)^4}{81}\cdot \frac {x+y+z-6}{(x-2)(y-2)(z-2)} \ge \frac {(x+y+z)^4}{81} \cdot \frac {27 (x+y+z-6)}{ (x+y+z-6)^3} =$$

$$= \frac {t^4}{3(t-6)^2} \ge 192 , ( t = x+y+z > 6)$$

ссылка

отвечен 11 Окт '16 22:35

изменен 11 Окт '16 22:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172
×38

задан
16 Июн '15 13:11

показан
530 раз

обновлен
11 Окт '16 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru