К поверхности $%x^2+2y^2+3z^2=21$% провести касательные плоскости, параллельные плоскости $%x+4y+6z=0$%.

задан 16 Июн '15 14:59

изменен 16 Июн '15 17:54

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Плоскость задается вектором нормали (т.е. вектором, перпендикулярным к плоскости) и точкой на плоскости. Для функции $%F(x,y,z)=0$% вектор нормали в точке $%M(x_0,y_0,z_0)$% определяется по формуле $$(F_x,F_y,F_z)_{|M} -$$ т.е. градиентом (вектор из производных по $%x,y,z$%). Уравнение плоскости при этом запишется как $$F_x|_M(x-x_0)+F_y|_M(y-y_0)+F_z|_M(z-z_0)=0.$$

В Вашем случае $%F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21$%. Производные равны $%F_x=2x$%, $%F_y=4y$%, $%F_z=6z$%. Поэтому в некоторой точке $%M(x_0,y_0,z_0)$% нормаль равна $%(2x_0, 4y_0,6z_0)$%.

Две плоскости параллельны, если их нормали коллинеарны, т.е. коэффициенты нормалей пропорциональны.

В Вашем случае вектор нормали заданной плоскости равен $%(1,4,6)$% (коэффициенты перед $%x,y,z$%), поэтому $$\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{4}=\frac{6z_0}{6}=k.$$ Отсюда $%x_0=k/2,y_0=k,z_0=k$%.

Подставляя эти координаты в уравнение поверхности, находим точку: $$k^2/4+2k^2+3k^2=21,$$ откуда $%k=\pm 2$%.

Соответственно, точки равны $%(1,2,2)$% и $%(-1,-2,-2)$%. За вектор нормали можно принять $%(1,4,6)$%. Тогда уравнения плоскостей будут $%(x-1)+4(y-2)+6(y-2)=0$% и $%(x+1)+4(y+2)+6(y+2)=0$%. Остается только раскрыть скобки.

ссылка

отвечен 16 Июн '15 20:30

изменен 16 Июн '15 20:38

Я разобрался, спасибо!

(16 Июн '15 21:26) Nikitc
1

Прошу прощения, но у последнего комментатора незначительная ошибка, в выражении

(x−1)+4(y−2)+6(Z−2)=0

в последних скобках y должен быть Z

(3 Мар '21 15:06) Oleksand Lia...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×92
×50

задан
16 Июн '15 14:59

показан
7124 раза

обновлен
3 Мар '21 15:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru