касательная - К поверхности провести касательные

Плоскость задается вектором нормали (т.е. вектором, перпендикулярным к плоскости) и точкой на плоскости. Для функции $%F(x,y,z)=0$% вектор нормали в точке $%M(x_0,y_0,z_0)$% определяется по формуле $$(F_x,F_y,F_z)_{|M} -$$ т.е. градиентом (вектор из производных по $%x,y,z$%). Уравнение плоскости при этом запишется как $$F_x|_M(x-x_0)+F_y|_M(y-y_0)+F_z|_M(z-z_0)=0.$$

В Вашем случае $%F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21$%. Производные равны $%F_x=2x$%, $%F_y=4y$%, $%F_z=6z$%. Поэтому в некоторой точке $%M(x_0,y_0,z_0)$% нормаль равна $%(2x_0, 4y_0,6z_0)$%.

Две плоскости параллельны, если их нормали коллинеарны, т.е. коэффициенты нормалей пропорциональны.

В Вашем случае вектор нормали заданной плоскости равен $%(1,4,6)$% (коэффициенты перед $%x,y,z$%), поэтому $$\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{4}=\frac{6z_0}{6}=k.$$ Отсюда $%x_0=k/2,y_0=k,z_0=k$%.

Подставляя эти координаты в уравнение поверхности, находим точку: $$k^2/4+2k^2+3k^2=21,$$ откуда $%k=\pm 2$%.

Соответственно, точки равны $%(1,2,2)$% и $%(-1,-2,-2)$%. За вектор нормали можно принять $%(1,4,6)$%. Тогда уравнения плоскостей будут $%(x-1)+4(y-2)+6(y-2)=0$% и $%(x+1)+4(y+2)+6(y+2)=0$%. Остается только раскрыть скобки.