Найти максимальную площадь равнобочной трапеции, вписанной в круг диаметра d и опирающейся на диаметр

задан 16 Июн '15 17:17

изменен 16 Июн '15 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим случай единичного круга при $%d=2$%: к нему всё сводится в силу подобия.

Трапеция однозначно задаётся точкой $%(x,y)$% в первой координатной четверти: две вершины $%(\pm1;0)$% заданы, это третья, а четвёртая равна $%(-x,y)$%. Полусумма оснований равна $%x+1$%, высота равна $%y$%, откуда $%(x+1)y\to\max$% при $%x^2+y^2=1$%, $%x,y\ge0$%.

Полагаем $%x=\cos t$%, $%y=\sin t$% при $%t\in[0;\pi/2]$%. Получается, что надо максимизировать функцию $%S(t)=(\cos t+1)\sin t=\sin t+\frac12\sin2t$% на этом отрезке. На концах отрезка получаются значения $%S(0)=0$% и $%S(\pi/2)=1$%. Находим производную и приравниваем к нулю: $%S'(t)=\cos t+\cos2t=0$%. Здесь можно рассмотреть квадратное уравнение относительно косинуса: $%2\cos^2t+\cos t-1=0$%, откуда $%\cos t=\frac12$% с учётом положительности. Можно также было представить сумму косинусов в виде произведения.

Таким образом, $%t=\pi/3$%, и $%S(\pi/3)=\frac{3\sqrt3}4$%. Это значение больше 1, то есть оно и является наибольшим. При увеличении масштаба в $%d/2$% раз получится максимальная площадь $%\frac{3\sqrt3\,d^2}{16}$%.

ссылка

отвечен 16 Июн '15 19:55

Спасибо, @falcao! Очень оригинальный подход к решению.Впрочем, для настоящего математика - это обычное явление. Я, наконец-то, тоже нашёл ответ - обычными способами, взял производную, приравнял к нулю и получил: $$d^{2}2^{1/2}2/9.$$ Вероятно, ошибся.

(18 Июн '15 8:59) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,422

задан
16 Июн '15 17:17

показан
269 раз

обновлен
18 Июн '15 9:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru