Известно, что для натуральных $%a,b,c$%: $%a^{60}+b^{60}+c^{60}$% делится на 2015.
Докажите, что $%a \cdot b \cdot c$% тоже делится на 2015.

задан 16 Июн '15 17:45

изменен 17 Июн '15 22:08

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Разложение на простые множители имеет вид $%2015=5\cdot13\cdot31$%. Пусть $%p$% -- один из них. Тогда $%60$% делится на $%p-1$%. Если допустить, что $%abc$% не делится на $%p$%, то каждое из трёх чисел взаимно просто с $%p$%, и для него имеет место малая теорема Ферма: $%a^{p-1}\equiv b^{p-1}\equiv c^{p-1}\equiv1\pmod{p-1}$%, и то же самое имеет место по модулю $%60$%. Получается, что сумма из условия при делении на $%p$% даёт в остатке $%3$%, что невозможно.

Этим мы доказали, что $%abc$% делится на каждое из трёх простых чисел, а потому и на их произведение, равное $%2015$%.

ссылка

отвечен 16 Июн '15 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,701
×650

задан
16 Июн '15 17:45

показан
268 раз

обновлен
16 Июн '15 20:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru