Здравствуйте!
Задача такая. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $%x + 5y + z = 0$%, $%x - z + 4 = 0$% и образующей с плоскостью $%x - 4y - 8z + 12 = 0$% угол $%\frac \pi4$% (система координат прямоугольная).

В общем, я могу найти направляющий вектор прямой пересечения из условия ортогональности этого вектора двум нормальным векторам плоскостей. Затем я могу найти уравнение этой прямой, положив, скажем, $%z = 0$% и решив систему. Могу найти точку пересечения прямой с третьей плоскостью. А вот дальше не пойму, что делать. :( Как тут угол дальше применить? Может, это всё и неправильно...

задан 17 Июн '15 17:43

изменен 20 Июн '15 9:15

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Если линия пересечения найдена, то достаточно найти вектор нормали (a,b,c) к искомой плоскости. Он перпендикулярен линии пересечения -- это даёт одно уравнение. Второе уравнение получается из того, что угол между векторами нормалей к плоскостям равен п/4 или 3п/4, то есть нам известен модуль косинуса угла. Рассматриваем скалярное произведение с (1;-4;-8), и это даёт второе условие. Решаем систему, находя a, b, c с точностью до пропорциональности.

(17 Июн '15 18:20) falcao

@falcao: А можно еще такой дурацкий вопрос - а то, что вектор нормали и линия пересечения перпендикулярны, - это значит, что скалярное произведение нормали и направляющего вектора прямой равно нулю? И еще я что-то не пойму - получается, что будет 2 уравнения и 3 неизвестных (a, b, c)?

(18 Июн '15 12:22) Math_2012

@Anna_2012: то, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю -- это очевидный факт. Он следует из определения, а также из того, что косинус 90 градусов равен нулю.

Вектор нормали находится с точностью до пропорциональности, поэтому уравнений на одно меньше, чем неизвестных.

(18 Июн '15 13:14) falcao

@falcao:Ох, что-то не получается никак подобрать $%a, b, c$%. У меня получился направляющий вектор прямой пересечения $%(-5; 2; -5)$%. Затем получилась система:

$$\begin{cases} -5a + 2b - 5c = 0, \ \frac {|a - 4b - 8c|}{(a^2 + b^2 + c^2)^{\frac 12}} = \frac 1{9 \sqrt 2} \end{cases}$$

Но числа не могу никак подобрать. Может, где-то ошиблась, хотя вроде все перепроверила... (

(19 Июн '15 16:48) Math_2012
1

@Anna_2012: у Вас ошибка в том, что 9 должно быть в числителе, а не в знаменателе (произведение длин на косинус угла, то есть на длину вектора происходит умножение). Если такую систему решать, то будет два решения с хорошими числами.

(19 Июн '15 18:30) falcao

@falcao: Да, действительно девятка по ошибке уехала не туда. :( Спасибо. И я чувствовала, что числа должны получиться хорошие.

(21 Июн '15 0:47) Math_2012
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×826
×713
×125
×4

задан
17 Июн '15 17:43

показан
801 раз

обновлен
21 Июн '15 0:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru