Подскажите формулу, никак не могу найти.

задан 17 Июн '15 19:44

Формулу, наверное, можно найти, но проще вывести. Надо сконцентрировать всю массу на оси. Тогда получится задача о нахождении центра масс отрезка, где плотность пропорциональна квадрату радиуса сечения. Вычисления там достаточно несложные.

(17 Июн '15 19:51) falcao

мне от этого не проще, центр масс отрезка я точно никогда не проходил как вычисляется, хотя теоретически вполне понятно, что вы имеете в виду

(17 Июн '15 22:50) Isaev

@Isaev: хорошо, давайте я опишу вычисления. Тогда желательно сказать, в каком виде задан усечённый конус, чтобы обозначения были те, которые Вам нужны. Скажем, можно задать радиус большего и меньшего оснований, а также высоту усечённого конуса. Можно задать один большой радиус и две высоты. Что для Вас было бы лучше?

(18 Июн '15 1:00) falcao

@falcao, через радиус большего и меньшего оснований и высоту. А что есть в конусе вторая высота? В смысле образующая?

(18 Июн '15 17:49) Isaev

@Isaev: этой информации достаточно -- сейчас напишу формулы.

Мной имелось в виду, что есть исходный конус, от него отрезается сверху конус с меньшей высотой, и остаётся усечённый. Поэтому я говорил о радиусе большого конуса, его высоте, и высоте отрезаемого конуса.

(18 Июн '15 17:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим осевое сечение конуса, от которого у нас имеется усечённый. Пусть $%H$% -- высота большого конуса. В сечении конуса получается равнобедренный прямоугольный треугольник. В сечении усечённого конуса -- равнобочная трапеция в основаниями $%2R$% и $%2r$%, и высотой $%h$%.

Опустим перпендикуляр на большее основание из конца меньшего основания. Возникает прямоугольный треугольник с катетами $%h$% и $%R-r$%. Он подобен "половинке" осевого сечения исходного конуса с катетами $%H$% и $%R$%. Отсюда $%H=\frac{Rh}{R-r}$%.

Теперь рассмотрим одномерную систему координат с центром в вершине конуса $%O$% и рассмотрим на ней отрезок высоты усечённого конуса от $%H-h$% до $%H$%. Пусть $%x\in[H-h,H]$%. Сечение конуса кругом, параллельным основанию, на расстоянии $%x$% от вершины, имеет площадь, пропорциональную $%x^2$% (так как радиус сечения пропорционален $%x$% из соображений подобия). Легко понять, что центр масс конуса находится на его оси, и нас интересует его координата вдоль оси, которая не меняется при перераспределении масс в перпендикулярных ей слоях.

Сосредоточим точечную массу $%\rho(x)=x^2$% в соответствующей точке стержня. Тогда нам достаточно найти центр масс стержня с указанной плотностью. Это делается по известной формуле $%I_x/I$%, где $%I_x=\int\limits_a^bx\rho(x)\,dx$% и $%I=\int\limits_a^b\rho(x)\,dx$%. Осталось вычислить два интеграла.

Получается $%I=\int\limits_a^b\rho(x)\,dx=\int\limits_a^bx^2\,dx=\frac{b^3-a^3}4$% и $%I_x=\int\limits_a^bx\rho(x)\,dx=\int\limits_a^bx^3\,dx=\frac{b^4-a^4}4$%, откуда координата центра масс по оси равна $%\frac34\frac{b^4-a^4}{b^3-a^3}$%. Подстановка значений $%b=H=\frac{Rh}{R-r}$% и $%a=H-h=\frac{rh}{R-r}$% даёт $%\frac34(b-a)\frac{b^3+b^2a+ba^2+a^3}{b^3-a^3}=\frac34h\frac{k^3+k^2+k+1}{k^3-1}$%, поскольку $%b-a=h$%, где $%k=b/a=\frac{R}{r}$%. Вычисления дают такой ответ: $$\frac{3h(R^2+r^2)(R+r)}{4(R^2+Rr+r^2)(R-r)}.$$

Это расстояние центр масс усечённого конуса до вершины полного конуса. Расстояние от центра масс до основания при этом равно $$\frac{h(R^2+2Rr+3r^2)}{4(R^2+Rr+r^2)}.$$

ссылка

отвечен 18 Июн '15 18:33

@falcao, Я почему-то думал, что он должен совпасть с центром тяжести осевого сечения. Потому и заблудился. Интересно, что в обычном конусе он вообще не зависит от радиуса основания.

(19 Июн '15 1:04) Isaev

@Isaev: нет, центр там находится ниже -- это из общих соображений следует. Например, у конуса центр тяжести делит ось в отношении 3:1, а у осевого сечения 2:1.

Здесь ответ зависит от h и от отношения r/R. В этом смысле, он чисто от R тоже не зависит.

(19 Июн '15 1:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×158

задан
17 Июн '15 19:44

показан
2553 раза

обновлен
19 Июн '15 1:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru