Задача.

Директор компании имеет два списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке - фамилии 6 женщин и 4 мужчин. Во втором списке оказалось 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказалось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была пересена фамилия женщины?

задан 7 Янв '12 15:07

изменен 7 Янв '12 16:43

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

@ХэшКод, исправьте, пожалуйста, орфографию...

(7 Янв '12 15:35) freopen
1

См. также вопрос "Вероятность того, что шар белый".

(10 Июн '12 4:23) Галактион
10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Если мы выбираем из списка случайную фамилию, несложно оценить вероятность, что это женщина
  2. Понятно, что была перенесена либо фамилия мужчины, либо женщины, поэтому пользуемся формулой полной вероятности $%P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1) + P(A|B_2)\cdot P(B_2)$%, где $%A$% - выбрали мужчину, $%B_1$% - перенесли мужчину, $%B_2$% - перенесли женщину. Все вероятности в формуле можно легко посчитать.
  3. Теперь применим формулу Байеса: $%P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$% где A - перенесли женщину, B - выбрали мужчину. Все составляющие несложно вычислить.
ссылка

отвечен 7 Янв '12 15:41

изменен 7 Янв '12 15:52

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%1. \ $% $%h_w%$% и $%h_m$% взаимоисключающие события (гипотезы)

$%\ \ \ h_w = H_w \wedge \neg H_m$%

$%\ \ \ h_m = \neg H_w \wedge H_m$%

$%\ \ \ H_w = $% Фамилия претендентки перенесена из 1-го списка во 2-й список.

$%\ \ \ H_m = $% Фамилия претендента перенесена из 1-го списка во 2-й список.

$%\ \ \ P(H_w \wedge \neg H_m) = p(h_w)$% априорная вероятность (достоверность) события (гипотезы) $%h_w$%

$%\ \ \ P(\neg H_w \wedge H_m) = p(h_m)$% априорная вероятность (достоверность) события (гипотезы) $%h_m$%

$%\ \ \ \begin {cases} p(...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w) = \frac{6}{6 + 4} = 0.6 \\ p(h_m) = \frac{4}{6 + 4} = 0.4 \\ p(h_w) + p(h_m) = 1 \end {cases} $%

$%2. \ $% Условные (неусреднённые) вероятности $%p(w|h_w)$% и $%p(w|h_m)$%, а также $%p(m|h_w)$% и $%p(m|h_m)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} P(W|H_w \wedge \neg H_m) = p(w|h_w) \ \wedge \ P(W|\neg H_w \wedge H_m) = p(w|h_m) \\ p(w|...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(w|h_w) = \frac{4 + 1}{(4 + 1) + 7} = \frac{5}{12} \\ p(w|h_m) = \frac{4}{4 + (7 + 1)} = \frac{4}{12} \\ p(w|h_w) + p(w|h_m) \neq 1 \end {cases} \\ \\ \begin {cases} P(M|H_w \wedge \neg H_m) = p(m|h_w) \ \wedge \ P(M|\neg H_w \wedge H_m) = p(m|h_m) \\ p(m|...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(m|h_w) = \frac{7}{(4 + 1) + 7} = \frac{7}{12} \\ p(m|h_m) = \frac{7 + 1}{4 + (7 + 1)} = \frac{8}{12} \\ p(m|h_w) + p(m|h_m) \neq 1 \end {cases} \end {cases}$%

$%3. \ $% Полные (уcреднённые) вероятности $%p(w)$% и $%p(m)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} p(w) = p(h_w) \cdot p(w|h_w) + p(h_m) \cdot p(w|h_m) = 0.6 \cdot \frac{5}{12} + 0.4 \cdot \frac{4}{12} = \frac{46}{120} \\ \mathrm{min}(p(w|h_w), \ p(w|h_m)) \ \leq p(w) \leq \ \mathrm{max}(p(w|h_w), \ p(w|h_m)) \\ \begin {cases} (h_w \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(w) = p(w|h_w)= \frac{5}{12} \\ (h_m \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(w) = p(w|h_m)= \frac{4}{12} \end {cases} \end {cases} \\ \\ \begin {cases} p(m) = p(h_w) \cdot p(m|h_w) + p(h_m) \cdot p(m|h_m) = 0.6 \cdot \frac{7}{12} + 0.4 \cdot \frac{8}{12} = \frac{74}{120} \\ \mathrm{min}(p(m|h_w), \ p(m|h_m)) \ \leq p(m) \leq \ \mathrm{max}(p(m|h_w), \ p(m|h_m)) \\ \begin {cases} (h_w \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(m) = p(m|h_w)= \frac{7}{12} \\ (h_m \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(m) = p(m|h_m)= \frac{8}{12} \end {cases} \end {cases} \\ \\ p(w) + p(m) = 1 \end {cases}$%

$%4. \ $% Апостериорные (уточнённые) вероятности $%p(h_w|m)$% и $%p(h_m|m)$%, а также $%p(h_w|w)$% и $%p(h_m|w)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} p(...|m): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w|m) = p(h_w) \cdot p(m|h_w) \cdot \frac{1}{p(m)} = 0.6 \cdot \frac{7}{12} \cdot (\frac{74}{120})^{-1} = \frac{21}{37} \approx 0.57 \neq 0.6 = p(h_w) \\ p(h_m|m) = p(h_m) \cdot p(m|h_m) \cdot \frac{1}{p(m)} = 0.4 \cdot \frac{8}{12} \cdot (\frac{74}{120})^{-1} = \frac{16}{37} \approx 0.43 \neq 0.4 = p(h_m) \\ p(h_w|m) + p(h_m|m) = 1 \end {cases} \\ \\ \begin {cases} p(...|w): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w|w) = p(h_w) \cdot p(w|h_w) \cdot \frac{1}{p(w)} = 0.6 \cdot \frac{5}{12} \cdot (\frac{46}{120})^{-1} = \frac{15}{23} \approx 0.65 \neq 0.6 = p(h_w) \\ p(h_m|w) = p(h_m) \cdot p(w|h_m) \cdot \frac{1}{p(w)} = 0.4 \cdot \frac{4}{12} \cdot (\frac{46}{120})^{-1} = \frac{8}{23} \approx 0.35 \neq 0.4 = p(h_m) \\ p(h_w|w) + p(h_m|w) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

По существу, $%p(h_w|m)$% - доля $%p(m|h_w)$% в $%p(m)$%, а $%p(h_m|m)$% - доля $%p(m|h_m)$% в $%p(m)$%.

ссылка

отвечен 10 Июн '12 0:21

изменен 11 Июн '12 6:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,580
×128

задан
7 Янв '12 15:07

показан
3585 раз

обновлен
11 Июн '12 6:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru