теория-вероятностей - Формула полной вероятности и формула Байеса

$%1. \ $% $%h_w%$% и $%h_m$% взаимоисключающие события (гипотезы)

$%\ \ \ h_w = H_w \wedge \neg H_m$%

$%\ \ \ h_m = \neg H_w \wedge H_m$%

$%\ \ \ H_w = $% Фамилия претендентки перенесена из 1-го списка во 2-й список.

$%\ \ \ H_m = $% Фамилия претендента перенесена из 1-го списка во 2-й список.

$%\ \ \ P(H_w \wedge \neg H_m) = p(h_w)$% априорная вероятность (достоверность) события (гипотезы) $%h_w$%

$%\ \ \ P(\neg H_w \wedge H_m) = p(h_m)$% априорная вероятность (достоверность) события (гипотезы) $%h_m$%

$%\ \ \ \begin {cases} p(...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w) = \frac{6}{6 + 4} = 0.6 \\ p(h_m) = \frac{4}{6 + 4} = 0.4 \\ p(h_w) + p(h_m) = 1 \end {cases} $%

$%2. \ $% Условные (неусреднённые) вероятности $%p(w|h_w)$% и $%p(w|h_m)$%, а также $%p(m|h_w)$% и $%p(m|h_m)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} P(W|H_w \wedge \neg H_m) = p(w|h_w) \ \wedge \ P(W|\neg H_w \wedge H_m) = p(w|h_m) \\ p(w|...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(w|h_w) = \frac{4 + 1}{(4 + 1) + 7} = \frac{5}{12} \\ p(w|h_m) = \frac{4}{4 + (7 + 1)} = \frac{4}{12} \\ p(w|h_w) + p(w|h_m) \neq 1 \end {cases} \\ \\ \begin {cases} P(M|H_w \wedge \neg H_m) = p(m|h_w) \ \wedge \ P(M|\neg H_w \wedge H_m) = p(m|h_m) \\ p(m|...): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(m|h_w) = \frac{7}{(4 + 1) + 7} = \frac{7}{12} \\ p(m|h_m) = \frac{7 + 1}{4 + (7 + 1)} = \frac{8}{12} \\ p(m|h_w) + p(m|h_m) \neq 1 \end {cases} \end {cases}$%

$%3. \ $% Полные (уcреднённые) вероятности $%p(w)$% и $%p(m)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} p(w) = p(h_w) \cdot p(w|h_w) + p(h_m) \cdot p(w|h_m) = 0.6 \cdot \frac{5}{12} + 0.4 \cdot \frac{4}{12} = \frac{46}{120} \\ \mathrm{min}(p(w|h_w), \ p(w|h_m)) \ \leq p(w) \leq \ \mathrm{max}(p(w|h_w), \ p(w|h_m)) \\ \begin {cases} (h_w \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(w) = p(w|h_w)= \frac{5}{12} \\ (h_m \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(w) = p(w|h_m)= \frac{4}{12} \end {cases} \end {cases} \\ \\ \begin {cases} p(m) = p(h_w) \cdot p(m|h_w) + p(h_m) \cdot p(m|h_m) = 0.6 \cdot \frac{7}{12} + 0.4 \cdot \frac{8}{12} = \frac{74}{120} \\ \mathrm{min}(p(m|h_w), \ p(m|h_m)) \ \leq p(m) \leq \ \mathrm{max}(p(m|h_w), \ p(m|h_m)) \\ \begin {cases} (h_w \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(m) = p(m|h_w)= \frac{7}{12} \\ (h_m \leftrightarrow \mathrm{True}) \rightarrow p(m) = p(m|h_m)= \frac{8}{12} \end {cases} \end {cases} \\ \\ p(w) + p(m) = 1 \end {cases}$%

$%4. \ $% Апостериорные (уточнённые) вероятности $%p(h_w|m)$% и $%p(h_m|m)$%, а также $%p(h_w|w)$% и $%p(h_m|w)$%

$% \begin {cases} \begin {cases} p(...|m): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w|m) = p(h_w) \cdot p(m|h_w) \cdot \frac{1}{p(m)} = 0.6 \cdot \frac{7}{12} \cdot (\frac{74}{120})^{-1} = \frac{21}{37} \approx 0.57 \neq 0.6 = p(h_w) \\ p(h_m|m) = p(h_m) \cdot p(m|h_m) \cdot \frac{1}{p(m)} = 0.4 \cdot \frac{8}{12} \cdot (\frac{74}{120})^{-1} = \frac{16}{37} \approx 0.43 \neq 0.4 = p(h_m) \\ p(h_w|m) + p(h_m|m) = 1 \end {cases} \\ \\ \begin {cases} p(...|w): \{h_w, h_m\} \mapsto [0, \ 1] \\ p(h_w|w) = p(h_w) \cdot p(w|h_w) \cdot \frac{1}{p(w)} = 0.6 \cdot \frac{5}{12} \cdot (\frac{46}{120})^{-1} = \frac{15}{23} \approx 0.65 \neq 0.6 = p(h_w) \\ p(h_m|w) = p(h_m) \cdot p(w|h_m) \cdot \frac{1}{p(w)} = 0.4 \cdot \frac{4}{12} \cdot (\frac{46}{120})^{-1} = \frac{8}{23} \approx 0.35 \neq 0.4 = p(h_m) \\ p(h_w|w) + p(h_m|w) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

По существу, $%p(h_w|m)$% - доля $%p(m|h_w)$% в $%p(m)$%, а $%p(h_m|m)$% - доля $%p(m|h_m)$% в $%p(m)$%.