Имеет ли функция $%f=\sqrt{|xy|}$% частные производные $%f_x'(0,0)$%, $%f_y'(0,0)$%. Проверить дифференцируемость в точке $%(0,0)$%.

задан 17 Июн '15 22:27

изменен 18 Июн '15 0:52

falcao's gravatar image


211k1638

@OZSV, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(17 Июн '15 22:29) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Частной производной функции $%f(x,y)$% в точке $%(x_0,y_0)$% по переменной $%x$% называется производная функции $%f(x,y_0)$%, взятая в точке $%x=x_0$%. В данном случае очевидно, что $%f(x,0)=0$%, и производная тождественно нулевой функции всюду равна нулю. Поэтому $%f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0$%.

Предположим, что $%f$% дифференцируема в нуле как функция двух переменных. Тогда существуют числа $%A$%, $%B$% такие, что $%f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(\sqrt{x^2+y^2})$% при $%(x,y)\to(0,0)$%. Коэффициентами при $%x$% и $%y$% в этом случае являются частные производные, а они равны нулю. Получается условие $%\sqrt{|xy|}=o(\sqrt{x^2+y^2})$%.

Удобно ввести полярные координаты, полагая $%x=r\cos\varphi$%, $%y=r\sin\varphi$%. Тогда наше равенство превратится в условие $%r\sqrt{|\cos\varphi\sin\varphi|}=o(r)=r\,o(1)$% при $%r\to0$%, но оно неверно, так как $%\sqrt{|\cos\varphi\sin\varphi|}$% не является бесконечно малой величиной относительно $%r$% (при $%\varphi=\frac{\pi}4$% и сколь угодно малом $%r$% получается $%\sqrt{\frac12}$%). Следовательно, функция в нуле не дифференцируема.

ссылка

отвечен 18 Июн '15 1:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,554

задан
17 Июн '15 22:27

показан
242 раза

обновлен
18 Июн '15 1:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru