Докажите, что диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений его сторон, сходящихся к концам этих диагоналей, то есть:

$$\frac {AC}{BD}=\frac {AB \cdot AD+BC \cdot CB}{AB \cdot BC + CB \cdot DA}$$

задан 18 Июн '15 10:20

изменен 18 Июн '15 22:18

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь в формулах имеются опечатки (указаны не те вершины). Но по словесному описанию всё понятно.

Пусть $%O$% -- точка пересечения диагоналей. Положим $%OA=x$%, $%OB=y$%, $%OC=z$%, $%OD=t$%. Пусть также $%AB=a$%, $%BC=b$%, $%CD=c$%, $%DA=d$%.

Из подобия треугольников $%OAB$% и $%ODC$% следует, что $%x:t=y:z=a:c$%. Аналогично, $%x:y=t:z=d:b$% из подобия двух других треугольников. В частности, $%t/y=(t/x)(x/y)=(cd)/(ab)$%.

Теперь ясно, что $%\frac{AC}{BD}=\frac{x+z}{y+t}=\frac{x/y+z/y}{1+t/y}=\frac{d/b+c/a}{1+(cd)/(ab)}=\frac{ad+bc}{ab+cd}$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 18 Июн '15 15:12

1

@falcao, и @irina93, добрый день )
Можно еще чуть по-другому )) Если считать известной формулу $%S_{\Delta} = \frac{abc}{4R}$%, то достаточно перемножить "по пропорции" то равенство, которое надо доказать, и каждое произведение трех отрезков (одной диагонали и двух сторон) записать как $%S_{\Delta}\cdot 4R$%, и так как радиус везде один и тот же (одна и та же описанная окружность), то сократив на $%4R$%, получим равенство, в котором с двух сторон будут суммы площадей двух треугольников (а эти суммы, очевидно, равные, так как обе они будут давать площадь исходного 4-угольника)

(18 Июн '15 15:39) ЛисаА

@ЛисаА: да, это красивая идея. У меня первоначально была идея применить теорему синусов, но я потом остановился на другом способе.

(18 Июн '15 17:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,481

задан
18 Июн '15 10:20

показан
404 раза

обновлен
18 Июн '15 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru