Возможно ли существование такой плоской трапеции с длинами сторон $%a_{1},a_{2},a_{3},a$% ($%a$% - основание трапеции, наибольшая сторона), для которых выполнялось бы равенство: $$(a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} = a^{2}?$$ Если да, то можно ли такую трапецию вписать в окружность?

задан 18 Июн '15 11:27

изменен 18 Июн '15 15:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Такое построение возможно. Сразу будем считать, что $%a_1=a_3$%: чтобы трапеция была вписанной, необходимо и достаточно, чтобы она была равнобочной.

По условию, $%a_2 < a$%. Пусть эти стороны принимают произвольные положительные значения. Расположим отрезок длиной $%a_2$% вдоль отрезка длиной $%a$% симметрично относительно его середины. Расстояния от концов малого отрезка до ближайших концов большого будут равны $%\frac{a-a_2}2$%. Теперь будем поднимать малый отрезок в направлении, перпендикулярном большому отрезку. При этом возникнет равнобочная трапеция, и длины боковых сторон будут принимать любые значения, строго большие $%\frac{a-a_2}2$%. Поэтому любые значения $%a_1=a_3 > \frac{a-a_2}2$% при этом будут достигаться.

Для того, чтобы выполнялось равенство из условия, нужно, чтобы $%a^2-a_2^2=a_1^2+a_3^2 > \frac12(a-a_2)^2$%. Такое неравенство выполнено, так как оно после сокращения на $%a-a_2 > 0$% и умножения на $%2$% имеет вид $%2(a+a_2) > a-a_2$%, что заведомо верно.

ссылка

отвечен 18 Июн '15 14:59

Возражение. Пусть имеется равнобедренная плоская трапеция со сторонами: $%a_{1}$% = $% a_{3}$%,причём отрезок $%a_{2}$% параллелен $%a$%. Конец отрезка $%a_{1}$%, лежащий вне диаметра $%a$%, соединим диагональю $%a_{23}$% со вторым концом диаметра $%a$%.Получим прямоугольный треугольник $%a_{1}, a_{23}, a$%.Но второй треугольник: $%a_{2}, a_{3}, a_{23}$% не будет прямоугольным. Поэтому сумма $%(a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} = (a_{23})^{2}$% невозможна

(18 Июн '15 16:06) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: у Вас в условии речь идёт просто о вписанной трапеции. О том, что $%a$% является диаметром окружности, ничего при этом не говорится.

(18 Июн '15 17:44) falcao

Виноват, если написал непонятно. Но главное требование было: чтобы соблюдалось написанное равенство квадратов. А уж если это выполнено, то можно ли её вписать в окружность?

(18 Июн '15 19:01) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: у меня в ответе учтено то, что сумма трёх квадратов равна $%a^2$%, а трапеция является вписанной (равнобочной). Вы сейчас о каких-то новых условиях спрашиваете?

(18 Июн '15 19:19) falcao

@falcao, ни у одной равнобочной трапеции сумма квадратов трёх меньших сторон не может быть равна квадрату основания в силу условия, указанного мною в возражении (отсутствие второго прямоугольного треугольника, для которого выполнялось бы равенство: $%(a_{2})^{2} +(a_{3})^{2} = (a_{23})^{2}$%, потому что у нас этот треугольник - тупоугольный). Если в специально подобранной равнобочной трапеции провести одну из двух диагоналей, ортогональную боковой стороне, станет сразу видно, что исходное равенство квадратов не выполняется

(19 Июн '15 4:51) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: в том рассуждении, которое Вы называете возражением, имеется фраза "лежащий вне диаметра $%a$%". Но откуда такая информация, что $%a$% является диаметром? В условии задачи ничего на этот счёт не дано.

Построить пример трапеции, удовлетворяющей условию, очень просто. Пусть большее основание равно $%a=3$%, меньшее равно $%a_2=1$%. Зададим $%h=\sqrt3$% в качестве высоты. Тогда ясно, что $%a_1=a_3=2$% по теореме Пифагора, и тогда $%3^2=2^2+1^2+2^2$%.

(19 Июн '15 8:49) falcao

@falcao, ответ принят, прошу прощения за "упёртость". Но вопрос у меня остался прежний. В Вашем случае диагональ равна $$5^{1/2}.$$ И это так: 9 - 4 = 5 - квадрат диагонали прямоугольного треугольника $$(3,2,5^{1/2}).$$ Но почему из второго треугольника, смежного с первым, следует (по квадратам): 4 + 1 = 5? А треугольник-то тупоугольный!! Где слагаемое: -21cos /phi? Этого я не понимаю! Из-за чего и упёрся! Где у меня не контачит?

(19 Июн '15 9:21) nikolaykruzh...

Все недоразумения проистекают из того, что Вы считаете большее основание трапеции её диаметром. Это вообще ниоткуда не следует. Диагональ той трапеции, пример которой я привёл выше, равна $%\sqrt7$%.

(19 Июн '15 11:25) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,918
×254
×80

задан
18 Июн '15 11:27

показан
1454 раза

обновлен
20 Июн '15 11:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru