О натуральном числе $%n$% известно, что сумма его цифр равняется $%406$%, а сумма цифр числа $%2012n$% равна $%2012$%. Найти все значения, каких может принимать сумма цифр числа $%2011n$%.

задан 18 Июн '15 13:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим через $%S(m)$% сумму цифр числа $%m$%. Имеют место неравенства $$S(a+b)\le S(a)+S(b);S(ab)\le S(a)S(b).$$ (см. задачу № 105 в http://kvant.ras.ru/1972/05/resheniya_zadachnika_kvanta_ma.htm ). $$S(2011n)\ge S(2012n)-S(n)=2012-406=1606,$$ $$S(2011n)\le S(2011)S(n)=4\cdot406=1624,$$ $$1606\le S(2011n)\le1624.$$ Посмотрим теперь на остатки от деления на $%9$%: $$S(2011n)\equiv2011n\equiv4\equiv2011S(n)\equiv4\pmod9,$$ $$S(2011n)=1606\text{ либо }S(2011n)=1615\text{ либо }S(2011n)=1624.$$

Для полного решения задачи нужно ещё проверить, существуют ли такие $%n.$%

ссылка

отвечен 21 Июн '15 15:42

изменен 21 Июн '15 16:01

Спасибо большое!

(21 Июн '15 17:09) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
0

Наведу пример чисел, удовлетворяющих условие (тем самым покажем, что они существуют :))

Пусть $%A_k=\overline{40004000...4000}$% (в записи $%k$% раз повторяются числа $%4000$%). Тогда суммы цифр каждого из чисел $%n_0=A_{100}+420$%, $%n_1=10A_{100}+1050$%, $%n_2=10A_{99}+2323$% равняется $%406$%, сумма цифр каждого из чисел $%2012n_0, 2012n_1, 2012n_2$% равняется $%2012$%, а суммы цифр чисел $%2011n_0, 2011n_1, 2011n_2$% соответственно равняются $%1624, 1615, 1609$%.

ссылка

отвечен 24 Июн '15 14:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,611

задан
18 Июн '15 13:11

показан
288 раз

обновлен
24 Июн '15 14:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru