1
1

Решить уравнение $$(x^2-x-1)^2-x^3=5$$

задан 18 Июн '15 13:24

10|600 символов нужно символов осталось
4

Если раскрыть скобки, то получится $%x^4-3x^3-x^2+2x-4=0$%. Запишем его в виде $%x^4-3x^3=x^2-2x+4$%, и далее дополним левую часть до полного квадрата, прибавляя $%\frac94x^2$%. Получится $%(x^2-\frac32x)^2=\frac{13}4x^2-2x+4$%.

Теперь прибавим к обеим частям выражение $%2a(x^2-\frac32x)+a^2$%, где $%a$% -- некоторый параметр. Получится $%(x^2-\frac32x+a)^2=(2a+\frac{13}4)x^2-(3a+2)x+a^2+4$%. Найдём дискриминант правой части и приравняем его к нулю. Возникнет кубическое уравнение $%2a^3+a^2+5a+12=0$%. Достаточно найти подбором один из его корней. Пользуясь схемой Горнера, находим значение $%a=-\frac32$%.

Подставляя это значение в наше уравнение, приходим к равенству $%(x^2-\frac32x-\frac32)^2=\frac14x^2+\frac52x+\frac{25}4$%. В правой части находится полный квадрат, то есть уравнение приведено к разности квадратов: $%(x^2-\frac32x-\frac32)^2-\frac14(x+5)^2=0$%. В результате получается разложение на множители $%(x^2-x+1)(x^2-2x-4)=0$%, и остаётся решить два квадратных уравнения.

То, что я описал -- это метод Феррари. Он применим в достаточно общей ситуации. Но решения уравнения из условия можно также придумать подходящую группировку. А именно, $%(x^2-x-1)^2-2^2=x^3+1$%, то есть $%(x^2-x-3)(x^2-x+1)=(x+1)(x^2-x-1)$%. Возникает общий множитель, и таким способом всё решается намного проще.

ссылка

отвечен 18 Июн '15 14:13

1

@falcao, если заинтересуетесь, посмотрите https://yadi.sk/i/1KGtMEtXhJV65

(18 Июн '15 18:42) epimkin
1

@epimkin: там очень длинный список задач, и такого рода подборок в Сети очень много. На что именно Вы рекомендуете обратить здесь внимание?

(18 Июн '15 18:45) falcao
1

@falcao, нет ни на что. Может, просто интересно будет. Встретил ссылку на просторах

(18 Июн '15 18:47) epimkin
1

@epimkin: спасибо, но я обычно не делаю так, чтобы брать сборники, и решать задачи подряд (а сборников в Сети огромное количество). Форум чем хорош -- задачи уже предлагаются в явном виде, и это избавляет от мучительной процедуры выбора. Я вообще не люблю "выбирать" -- предпочитаю "готовое" :)

(18 Июн '15 19:01) falcao
1

@falcao, да я почему-то тоже не люблю решать, например, из книжек (у меня их много). Казалось бы, возьми пример и решай-не хочется. А когда где-то что-то появляется - появляется и интерес.

(18 Июн '15 19:18) epimkin

@epimkin: здесь можно ещё обсуждать разные способы решения, а это как раз самое интересное. К тому же остаются написанные тексты, то есть какой-то "продукт". Если же решать просто в черновике, то всё быстро забудется, и трудно будет найти "следы".

(18 Июн '15 19:23) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×834

задан
18 Июн '15 13:24

показан
359 раз

обновлен
18 Июн '15 19:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru