Здравствуйте! Нужно найти область сходимости степенного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {3^n + (-2)^n}{n}{(x + 1)^n}$$

задан 18 Июн '15 15:07

1

Вот полностью аналогичная задача. Достаточно извлечь корень $%n$%-й степени из (модуля) коэффициента при $%n$%-й степени и найти предел. Он равен 3, поэтому радиус сходимости равен 1/3 по формуле Коши - Адамара. Ряд сходится при $%|x+1| < 1/3$% и расходится при $%|x+1| > 1/3$%. На концах интервала факт сходимости устанавливается непосредственно: при $%|x+1|=1/3$% расходится (сравнение с гармоническим), при $%|x+1|=-1/3$% сходится.

(18 Июн '15 15:19) falcao

@falcao: О, спасибо, я получила тот же ответ. Только я брала по Даламберу.

(18 Июн '15 15:23) Math_2012

@falcao: Только у меня вопрос - а Вы сравнивали с гармоническим рядом с помощью предельного признака сравнения? Если да, то чему равен предел получился?

(18 Июн '15 15:43) Math_2012

@Anna_2012: предел ничему не мог здесь получиться равным, потому гармонический ряд расходится. Можно сказать, что оба предела равны бесконечности.

Вместо формулы Коши - Адамара можно находить значение радиуса сходимости через отношение соседних членов, но мне кажется, что первый способ технически проще.

(18 Июн '15 17:42) falcao
1

@Anna_2012: я рассуждал так: подставил значение $%x+1=\frac13$% (выше у меня в комментарии ошибочно написан знак модуля вместо круглых скобок), и разделил числитель на $%3^n$%. В числителе стало $%1+(-2/3)^n$%, в знаменателе $%n$%. Получается сумма двух рядов, первый из которых -- гармонический, а второй -- очевидным образом сходится (его абсолютная сходимость следует из признака Даламбера). Сумма расходящегося и сходящегося ряда расходится. Фактически, я "сравнил" ряд с гармоническим, хотя не имел в виду собственно признак сравнения. Но здесь всё достаточно очевидно и так.

(18 Июн '15 18:59) falcao

@falcao: У меня все же вопрос про формулу Коши-Адамара. Я теперь пытаюсь пользоваться ею. Туда входит верхний предел. Я вот хотела спросить - получается, что когда Вы вычисляли верхний предел $%3^n + (-2)^n$%, Вы как бы $%(-2)^n$% не учитывали? И еще вопрос - $%(-2)^n$% предела же не имеет. То есть как Вы пришли к тому, что верхний предел именно такой?

(24 Июн '15 14:59) Math_2012

@Anna_2012: я имел в виду следующее: $%\sqrt[n]{3^n+(-2)^n}=3\sqrt[n]{1+(-2/3)^n}$%, что стремится к 3 за счёт того, что $%(-2/3)^n$% стремится к нулю. Здесь существует обычный предел, который поэтому совпадает с верхним. Суть в том, что степень двойки бесконечно мала по отношению к степени тройки, и это слагаемое не влияет.

(24 Июн '15 17:02) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×587
×301

задан
18 Июн '15 15:07

показан
281 раз

обновлен
24 Июн '15 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru