|
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как найти нули функции, промежутки знакопостоянства, убывания и возрастания в функции с модулем или отрицательной степенью? Функции: $$а)y=|x-3|-1$$ $$б)y=4-|x+2|$$ $$в)y=x^{-2}$$ Спасибо! задан 5 Июл '12 16:15 
ВладиславМСК |
|
Как для всех функций. Если исследовать с помощью производной, то полезна формула $%|x|^'=\frac{x}{|x|}.$%
$$а)y=|x-3|-1$$ $% y>0\Leftrightarrow |x-3|-1>0 \Leftrightarrow |x-3|>1 \Leftrightarrow (x-3>1 $% или $%x-3<-1) \Leftrightarrow (x>4 $% или $%x<2).$% Сохраняет положителный знак во множестве $%(-\infty;2)\cup (4;\infty).$% $%y<0\Leftrightarrow |x-3|-1<0 \Leftrightarrow |x-3|<1 \Leftrightarrow -1<x-3<1\Leftrightarrow 2<x<4$%. Сохраняет отрицательный знак во множестве $%(2;4).$% Возрастает в промежутке $%[3;\infty).$% убывает в промежутке $%(-\infty;3]$% b)По аналогии можете исследовать сами. Возрастает в $%(-\infty;-2],$%убывает в промежутке $%[-2;\infty).$% с) Не имеет нулей, принимает только положительные значения. Возрастает в $%(-\infty;0),$%убывает в промежутке $%(0;\infty).$%.Графики первих двух вы посмотрите у @Anatoliy. А график третьего сейчас покажу отвечен 5 Июл '12 16:22 
ASailyan Если бы я знал, я бы не спрашивал. Функцию В я уже решил, для а и б нули нашёл, а остальные как? Каков алгоритм их построения?
(5 Июл '12 16:45)
ВладиславМСК
|
|
В а) и б) нужно воспользоваться элементарными преобразованиями графиков функций. В качестве исходного графика нужно взять график функции $%y=|x|$%(см. рисунок):функция четная(график симметричен относительно оси ОХ). Чтобы получить график функции $%y=|x-3|-1$% нужно сдвинуть график функции $%y=|x|$% на 3 единицы в положительном направлении оси ОХ и переместить на 1 единицу в отрицательном направлении оси ОУ. Для графика б): зеркально отобразить график $%y=|x|$% относительно оси ОХ; сместить на 2 единицы в отрицательном направлении оси ОХ; поднять в положительном направлении оси ОУ. Затем нужно найти точки пересечения с осью ОХ, решив уравнения $%|x-3|-1=0$% и $%4-|x+2|=0$% (это нужно для указания промежутков знакопостоянства функций).
Для функции а): 1) Область определения функции - множество действительных чисел, $%D(y)=(-\infty;+\infty)$% 2)Функция убывает на промежутке $%(-\infty;3]$%; возрастает на промежутке $%(3;+\infty]$%. 3) Точки 2 и 4 - нули функции 4) На промежутке $%(2;4)$% функция принимает отрицательные значения, в остальных тосках области определения - положительные значения. Аналогично исследуется функция б). отвечен 5 Июл '12 17:40 
Anatoliy |
Задавая Вам такие задания (это мое мнение), учитель ставил задачу проверить Ваши знания свойств простейших элементарных функций, не требующих аппарата матанализа. Как это примерно делается я Вам пояснил. Что же касается функции в), то функция степенная, свойства этих функций изучают в школе. Придумывать здесь нечего.