Решить уравнения в натуральных числах:
1. $%7^a-2^b=3$%
2. $%5^a=2^a-1$%
3. $%7^a=2^b 3^c +1$%

задан 18 Июн '15 16:12

изменен 18 Июн '15 22:20

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
3

1) При делении на 8 число $%2^b=7^a-3$% даёт тот же остаток, что и $%(-1)^a-3$%, то есть 6 или 4. Отсюда следует, что $%2^b$% не делится на 8, то есть $%b$% равно 1 или 2. Первый случай не даёт решений, а во втором $%a=1$%, $%b=2$%.

2) Уравнение $%5^a=2^a-1$% решений не имеет, так как левая часть больше правой. Вероятно, имелось в виду $%5^a=2^b-1$%. Оно тоже не имеет решений, так как $%2^b=5^a+1$% при делении на 4 даёт в остатке 2, а число $%b=1$% решений не даёт.

3) Уравнение $%7^a=2^b3^c+1$% означает, что число $%7^a-1$% является произведением двоек и троек. Здесь подходят $%a=b=c=1$% и $%a=2$%, $%b=4$%, $%c=1$%. Поскольку $%7^a-1=(7-1)(7^{a-1}+\cdots+7+1)$%, выражение в скобках также должно быть произведением двоек и троек. При делении на 6 оно даёт в остатке то же число, что и $%a$% (так как семёрки можно по модулю 6 заменить на единицы). Если $%a > 1$%, то получается, что $%a$% кратно двум или трём. Во втором случае $%7^a-1$% делится на $%7^3-1=342=2\cdot3^2\cdot19$%, что невозможно. Пусть $%a$% делится на $%2$%. Тогда $%7^a-1$% делится на $%7^{a/2}-1$%, и это число также является произведением двоек и троек. По предыдущему, если $%a/2 > 1$%, то оно делится на 2 или на 3. Второй вариант уже разобран, а в первом получается, что $%a$% делится на $%4$%, и тогда $%7^a-1$% делится на $%7^4-1=(7^2-1)(7^2+1)=48\cdot50$%. Делимости на 5 быть не должно, откуда следует, что других решений нет.

ссылка

отвечен 18 Июн '15 20:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,708
×110

задан
18 Июн '15 16:12

показан
425 раз

обновлен
18 Июн '15 20:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru