Если на плоскости расположить несколько выпуклых фигур, то одну из них можно выдвинуть так, чтобы не задеть другие

задан 19 Июн '15 1:53

изменен 19 Июн '15 2:49

Это вопрос или открытие?

(19 Июн '15 11:37) Isaev

Это задача, но мне не удалось придумать решения. стр.20: http://www.kvant.info/k/2009/1/13-24.pdf

по идее тут можно как-то использовать графы, пусть фигуры вершины, тогда соединим их если они "мешают" друг другу двигаться по заранее выбранной оси. Первой мешает вторая, ей - третья, а последней либо никто не мешает, либо мешает первая - получается цикл и надо как-то доказать его невозможность, но пока не знаю как.

(19 Июн '15 13:32) sapere aude

Тут ключевое слово, видимо, "выпуклых". Перемещение выпуклой фигуры не "запереть" двумя точками, нужно минимум три, значит чтобы опровергнуть условие нужно вокруг каждой фигуры расположить минимум три, а это невозможно. Но как это математически докзывается не знаю.

(19 Июн '15 16:44) Isaev

@sapere aude, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(21 Июн '15 0:25) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я буду основываться на решении этой задачи. Вместо палок рассматриваем произвольные ограниченные выпуклые фигуры. Можно также считать, что они закреплены, и далее начинают падать вниз. Проверим, что одна из фигур при этом будет падать свободно.

Как и в рассуждении по ссылке, рассуждая от противного, строим замкнутую несамопересекающуюся ломаную. Рассматриваем одну из фигур, и пусть она начинает падать вниз. Отслеживаем момент первого соприкосновения с какой-то другой из фигур в точке $%A_2$% (если соприкосновений происходит несколько, то рассматриваем какое-то одно из них). Через $%A_1'$% обозначаем точку первой фигуры, которая при движении вниз перешла в $%A_2$%. Далее вторая фигура начинает падать до соприкосновения с третьей в точке $%A_3$%, и пусть $%A_2'$% -- точка второй фигуры, которая при движении вниз перешла в $%A_3$%. Точки $%A_2$%, $%A_2'$% в пределах второй фигуры соединяем отрезком. Ввиду выпуклости, этот отрезок целиком содержится во второй фигуре.

Продолжая процесс, мы рано или поздно заденем какую-то фигуру, которую уже рассматривали. Меняя обозначения, можно считать, что она была первой. Тогда окажется, что некоторая точка $%A_n'$% при падении вниз перешла в точку $%A_1$% первой фигуры, и мы соединим $%A_1$% с $%A_1'$% в пределах первой фигуры.

Ломаная $%A_1A_1'A_2A_2'\ldots A_nA_n'$% будет несамопересекающейся: у отрезков вида $%A_i'A_{i+1}$%, направленных вниз, не будет пересечений с другими звеньями, так как мы отслеживали первый момент соприкосновения. Для отрезков вида $%A_iA_i'$% пересечений с другими звеньями также не будет, так как они находятся в пределах $%i$%-й выпуклой фигуры.

Заключительная часть рассуждения точно такая же, как в задаче с падающими палками.

ссылка

отвечен 20 Июн '15 21:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,527
×22

задан
19 Июн '15 1:53

показан
469 раз

обновлен
21 Июн '15 0:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru