Дан выпуклый четырехугольник со сторонами $%a, b, c, d (a \geq b \geq c \geq d$%, стороны могут идти в любом порядке). Доказать, что $%a + b + d$% не меньше суммы длин диагоналей.

задан 19 Июн '15 2:34

перемечен 7 Июл '15 23:28

EdwardTurJ's gravatar image


7055150

10|600 символов нужно символов осталось
0

Придумал решение для параллелограмма, может быть его можно как-то обобщить? Имеем 2 стороны равные a и две b. через $%L_{1} и L_{2}$% обозначим первую и вторую диагональ, соответственно. $%(l_{1})^2 + (l_{2})^2 = 2(a^2 +b^2)$%

$%(l_{1} + l_{2})/2 \leq sqrt{((l_{1})^2 + (l_{2})^2)/2)} = sqrt{(a^2 +b^2)} $%

Отсюда символьными манипуляциями получаем, что $% 2*sqrt((a^2 +b^2)) < 2a+b $%, чтд.

ссылка

отвечен 7 Июл '15 1:38

изменен 7 Июл '15 2:25

1

@sapere aude: Обобщение тождества для параллелограмма:

Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.

(7 Июл '15 20:48) EdwardTurJ

Это действительно усиление, но тут важнее от параллелограмма перейти к произвольному выпуклому четырехугольнику, а не усилить само неравенство. Но как для общего развития интересно, а то олимпиадную планиметрию я почти не знаю(

(7 Июл '15 23:18) sapere aude
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,526
×172

задан
19 Июн '15 2:34

показан
587 раз

обновлен
7 Июл '15 23:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru