|
Здравствуйте! Нужно исследовать на сходимость степенной ряд: $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(3 + (-1)^n)^n}{n}{x^n}$$ задан 22 Июн '15 14:50 
Math_2012 |
|
Извлечём корень $%n$%-й степени из (модуля) коэффициента при $%n$%-й степени переменной. Получится $%(3+(-1)^n)/\sqrt[n]n$%, где знаменатель стремится к 1. Числитель принимает значения 2, 4, 2, 4, ... , и верхний предел равен 4. Тогда по формуле Коши - Адамара радиус сходимости ряда равен $%R=1/4$%. При $%|x| < 1/4$% ряд сходится, при $%|x| > 1/4$% расходится. Со значениями $%x=\pm1/4$% надо разбираться отдельно. Добавление. Пусть $%x=1/4$%. Тогда при чётных $%n$% мы получаем член ряда $%\frac1n$%, а при нечётном $%\frac1{n2^n}$%. Если рассматривать эти ряды по отдельности, то первый из них расходится (это $%\frac12+\frac14+\frac16+\cdots$%), а второй сходится по признаку Даламбера. В итоге весь ряд будет расходящимся. Пусть $%x=-1/4$%. Здесь происходит умножение членов ряда на $%(-1)^n$%. При этом на чётных местах будут стоять члены того же расходящегося ряда, а на нечётных -- члены сходящегося ряда со знаком минус. Итогом снова будет расходящийся ряд по той же причине. отвечен 22 Июн '15 15:22 
falcao |
Мне с концами как раз и наиболее непонятно.
@falcao: Я правильно понимаю, что при x = -1/4 ряд будет знакопеременным, и там нужен признак Лейбница, а при x = 1/4 ряд будет знакопостоянный, и там надо что-то типа Даламбера применить?
@Anna_2012: нет, там будет немного не так. Сейчас я напишу подробнее.