Здравствуйте! Нужно исследовать на сходимость степенной ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(3 + (-1)^n)^n}{n}{x^n}$$

задан 22 Июн '15 14:50

Мне с концами как раз и наиболее непонятно.

(22 Июн '15 20:07) Math_2012

@falcao: Я правильно понимаю, что при x = -1/4 ряд будет знакопеременным, и там нужен признак Лейбница, а при x = 1/4 ряд будет знакопостоянный, и там надо что-то типа Даламбера применить?

(22 Июн '15 20:20) Math_2012

@Anna_2012: нет, там будет немного не так. Сейчас я напишу подробнее.

(22 Июн '15 20:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Извлечём корень $%n$%-й степени из (модуля) коэффициента при $%n$%-й степени переменной. Получится $%(3+(-1)^n)/\sqrt[n]n$%, где знаменатель стремится к 1. Числитель принимает значения 2, 4, 2, 4, ... , и верхний предел равен 4. Тогда по формуле Коши - Адамара радиус сходимости ряда равен $%R=1/4$%. При $%|x| < 1/4$% ряд сходится, при $%|x| > 1/4$% расходится. Со значениями $%x=\pm1/4$% надо разбираться отдельно.

Добавление. Пусть $%x=1/4$%. Тогда при чётных $%n$% мы получаем член ряда $%\frac1n$%, а при нечётном $%\frac1{n2^n}$%. Если рассматривать эти ряды по отдельности, то первый из них расходится (это $%\frac12+\frac14+\frac16+\cdots$%), а второй сходится по признаку Даламбера. В итоге весь ряд будет расходящимся.

Пусть $%x=-1/4$%. Здесь происходит умножение членов ряда на $%(-1)^n$%. При этом на чётных местах будут стоять члены того же расходящегося ряда, а на нечётных -- члены сходящегося ряда со знаком минус. Итогом снова будет расходящийся ряд по той же причине.

ссылка

отвечен 22 Июн '15 15:22

изменен 22 Июн '15 20:31

@falcao: Круто!

(22 Июн '15 20:47) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×798
×435
×285

задан
22 Июн '15 14:50

показан
527 раз

обновлен
22 Июн '15 20:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru