При каких $%а$% один из корней уравнения больше единицы, другой меньше единицы?

$$(a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a-5=0$$

задан 7 Янв '12 16:42

изменен 7 Сен '12 22:51

DocentI's gravatar image


9.8k837

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Корни квадратного уравнения $%ax^2 + bx + c= 0$% находятся по формулам

$$x_{1,2}= \frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$$

Откуда

$$\begin{cases} \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac} }{2a} < 1\\ \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac} }{2a} > 1 \end{cases}$$

либо

$$\begin{cases} \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac} }{2a} > 1\\ \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac} }{2a} < 1 \end{cases}$$

Подставляя из исходного уравнения параметры, получаем

$$x_{1,2}= \frac{-(2a−3) \mp \sqrt{(2a−3)^2-4(a^2 + a + 1)(a−5)} }{2(a^2 + a + 1)}$$

Откуда, решая неравенства относительно a, получаем искомый ответ.

ссылка

отвечен 7 Янв '12 17:01

а как избавиться от корня??

(11 Янв '12 18:10) кто

Этот способ решения уравнений такого типа не приемлем. Нужно использовать свойства квадратичной функции.

(8 Сен '12 19:35) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Выражаешь корни уравнения по формуле, предполагаешь, что дискриминант больше 0, что больший корень больше единицы, а меньший - меньше. Смотришь, при каких a это так. Где возникает проблема?

ссылка

отвечен 7 Янв '12 16:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Замена $$x=y+1$$ . Корни y будут разного знака. Получим $$ (a^{2} +a+1)* y^{2} +(2 a^{2} +4a-1)y+(a^{2} +4a-7)=0$$ Квадратный трехчлен имеет корни разного знака ,если дискриминант D>0 (т.е. корни существуют) и свободный коэффициент <0, а старший коэф >0. У нас $$a^{2} +a+1 > 0$$, т.е. имеем квадратное уравнение. Решим $$ (a^{2} +4a-7)<0 $$. Получим $$ (-2- \sqrt{11}) < a < (-2+ \sqrt{11}) $$ Дискриминант $$D=(2 a^{2} +4a-1)^{2} -4(a^{2} +a+1)(a^{2} +4a-7)$$ упрощаем $$D=29+4a+20a^{2}-4a^{3}$$ . Можно показать, что у него один действительный корень $$x0\approx 5,43$$. Поэтому D>0 верно при x<x0. Другими словами, D>0 при $$ (-2- \sqrt{11}) < a < (-2+ \sqrt{11}) $$ у квадратного уравнения корни действительные при $$ (-2- \sqrt{11}) < a < (-2+ \sqrt{11}) $$ . В знак благодарности прошу ответить на мой вопрос "Зачем нужна математика?" Более простой вариант. $$f(x)=ax^2+bx+c ; a>0$$ имеет корни по разные стороны от единицы тогда и только тода, когда $$f(1)<0$$ Про дискриминант и упоминать не нужно. Отсюда получим неравенство $$f(1)=a^2+4a-7<0$$

ссылка

отвечен 7 Янв '12 17:36

изменен 8 Янв '12 15:38

(a2+a+1)∗y2+(2a2+4a−1)y+(a2+4a−7)=0 я не понимаю почему так при замене получается????

(11 Янв '12 18:07) кто

Первую часть решения не смотрите. Ее было жалко убивать. Начинайте читать с фразы "f(x)=ax2+bx+c;a>0 имеет корни по разные стороны от единицы тогда и только тода, когда"

(11 Янв '12 18:22) ValeryB

видно, не дана мне математика(((((

(11 Янв '12 18:37) кто
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим квадратичную функцию $%f(x)=(a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a-5=0$%. График этой функции - парабола, ветки которой направлены вверх.alt text

Условие, при котором один корень меньше 1, а второй больше 1 выразиться неравенством $$f(1)<0\Leftrightarrow a^2+4a-7<0$$

ссылка

отвечен 8 Сен '12 20:14

После того как отправил решение, увидел, что эта идея уже отображена. Ответ оставлю.

(8 Сен '12 20:17) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,447
×752

задан
7 Янв '12 16:42

показан
5104 раза

обновлен
8 Сен '12 20:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru