Как доказывать такие неравенства?

а) $$\left| x-y \right| \geqslant \left| \left| x | - |y \right| \right|$$ б) $$\left| x+x_1 + ... + x_n \right| \geqslant \left| x \right| - (\left| x_1 \right| + ...+|x_n| )$$

Я знаю, как доказывается $$|x+y|\leqslant|x|+|y|$$ и $$|x - y| \geqslant |x|-|y|,$$ а тут проблемы. Можете подсказать?

задан 24 Июн '15 18:22

изменен 24 Июн '15 21:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Одно следует из другого. А именно, $%|x|-|y|\le|x-y|$%, поскольку $%|x|=|y+(x-y)|\le|y|+|x-y|$% в силу неравенства треугольника. Аналогично, $%|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|$%. Поскольку $%||x|-|y||$% равен либо $%|x|-|y|$%, либо $%|y|-|x|$%, отсюда следует первое неравенство.

Второе неравенство следует из того, что $%x=(x+x_1+\cdots+x_n)+(-x_1)+\cdots+(-x_n)$%. Пользуемся тем, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, что верно для любого числа слагаемых. Отсюда $%|x|\le|x+x_1+\cdots+x_n|+|-x_1|+\cdots+|-x_n|=|x+x_1+\cdots+x_n|+|x_1|+\cdots+|x_n|$%, что доказывает второе неравенство.

ссылка

отвечен 24 Июн '15 18:31

изменен 24 Июн '15 23:31

@falcao немного в недоумении. По-моему, $$(x_1+ ... +x_n)+(-x_1)+ ... +(-x_n) = 0$$.

(24 Июн '15 20:44) bonaqua

Индукцией доказывать последний пункт вообще почти ничего не стоит.

(24 Июн '15 20:52) bonaqua

@bonaqua: Там просто опечатка: $$x=x+(x_1+...+x_n+(-x_1)+...+(-x_n),$$ $$|x+x_1+...+x_n|\ge|x|−(|x_1|+...+|x_n|).$$

(24 Июн '15 21:26) EdwardTurJ

@EdwardTurJ тогда вопросов больше нет :)

(24 Июн '15 21:41) bonaqua

@bonaqua: да, конечно, там была опечатка. Я подразумевал одно, а написал другое. Сейчас исправлю.

(24 Июн '15 23:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×265
×93

задан
24 Июн '15 18:22

показан
471 раз

обновлен
24 Июн '15 23:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru