алгебра - Прямая сумма подпространств

Для того, чтобы лучше всего представить себе, что такое прямая сумма подпространств, рассмотрим такой пример. Пусть $%e_1$%, ... , $%e_n$% -- некоторый базис пространства, или какого-то из его подпространств (в последнем случае это просто некоторая линейно независимая система). Разобьём векторы базиса на две части: $%e_1$%, ... , $%e_k$% и $%e_{k+1}$%, ... , $%e_n$%. Рассмотрим линейную оболочку векторов каждой из частей. Это будут подпространства $%W'$% и $%W''$%. Тогда всё пространство будет их прямой суммой: $%W'\oplus W''$%.

Это "типовой" случай, так как любая прямая сумма может быть представлена в таком виде. Действительно, если у нас есть $%W'\oplus W''$%, то выбираем какой-то базис $%e_1$%, ... , $%e_k$% в $%W'$% и базис $%e_{k+1}$%, ... , $%e_n$% в $%W''$%. Из определений легко следует, что $%e_1$%, ... , $%e_n$% будет базисом прямой суммы. Таким образом, разложение пространства в прямую сумму соответствует разбиению некоторого его базиса на две части.

По поводу ядра и образа: прежде всего, в сформулированном в условии виде утверждение неверно. В самом деле, рассмотрим двумерное пространство с базисом $%e_1$%, $%e_2$% и зададим линейный оператор правилами $%e_1\mapsto e_2$%; $%e_2\mapsto0$%. Легко видеть, что ядро и образ здесь совпадают, поэтому не образуют прямую сумму. Поэтому доказывать будем скорректированное утверждение. Прежде всего, для любых двух векторных пространств $%V_1$%, $%V_2$% можно рассмотреть их внешнюю прямую сумму $%V_1\oplus V_2$%, которая состоит из всех упорядоченных пар вида $%(v_1,v_2)$%, где $%v_1\in V_1$% и $%v_2\in V_2$%. Сложение и умножение на скаляр осуществляется покомпонентно. Получится пространство, которое будет внутренней прямой суммой подпространств $%V_1\oplus\{0\}$% и $%\{0\}\oplus V_2$%, то есть по сути это одно и то же.

Итак, пусть $%f\colon V\to V$% -- линейный оператор. Обозначим ядро через $%W'$%, а образ через $%W''$%. Докажем, что $%V$% изоморфно внешней прямой сумме $%W'\oplus W''$%.

Выберем базис ядра $%e_1$%, ... , $%e_k$% и некоторый базис образа. Для каждого вектора из базиса образа рассмотрим его прообраз, получая систему $%e_{k+1}$%, ... , $%e_n$%. Базис образа при этом состоит из векторов $%f(e_{k+1})$%, ... , $%f(e_n)$%. Рассмотрим произвольный вектор $%x\in V$%. Вектор $%f(x)$% принадлежит образу, поэтому его можно разложить по векторам предыдущей системы с некоторыми коэффициентами: $%f(x)=\alpha_{k+1}f(e_{k+1})+\cdots+\alpha_nf(e_n)$%. Отсюда следует, что $%f(y)=0$%, где $%y=x-(\alpha_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\alpha_ne_n)$%, то есть $%y\in W'$%. Тогда вектор $%y$% можно разложить по базису ядра: $%y=\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ke_k$%. Итогом будет разложение вектора $%x=\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ke_k+\alpha_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\alpha_ne_n$%.

Система $%e_1$%, ... , $%e_n$% является линейно независимой. Действительно, предположим, что $%\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ke_k+\alpha_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\alpha_ne_n=0$%. Применим к обеим частям линейный оператор $%f$%. Первые $%k$% векторов системы перейдут в нулевой вектор, и получится $%\alpha_{k+1}f(e_{k+1})+\cdots+\alpha_nf(e_n)=0$%. Из того, что рассматривается линейная комбинация векторов базиса образа, следует, что коэффициенты равны нулю: $%\alpha_{k+1}=\cdots=\alpha_n=0$%. Следовательно, $%\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ke_k=0$%. Но из этого следует, что $%\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$%, так как это коэффициенты при векторах базиса ядра. Таким образом, все коэффициенты нулевые, откуда следует, что система является базисом.

Пространство $%V$% при этом становится внутренней прямой суммой вида $%W'\oplus U$%, где $%W'$% -- ядро, а пространство $%U$% есть линейная оболочка остальной части базиса. Число векторов в ней равно $%n-k$%, и это размерность $%U$%. Точно такая же размерность у $%W''$%, откуда $%U\cong W''$%. Следовательно, $%V\cong W'\oplus W''$% (внешняя прямая сумма).