Помогите решить уравнение в целых числах!

$$y^3=x^3+9x^2+17$$

задан 13 Июл '12 0:15

изменен 13 Июл '12 0:31

ASailyan's gravatar image


15.4k725

(1;3); (-6;5); (3;5)...

(13 Июл '12 0:53) ASailyan

Спасибо! А как вы это решили?

(13 Июл '12 1:14) milib

Я не решила, просто построила график. Но надо найти решение.

(13 Июл '12 1:25) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из уравнения ясно,что $%y^3>x^3\Leftrightarrow y>x. $% Пусть $% y=x+m , m\in N. $% Уравнение примет вид $%(3m-9)x^2+3m^2x+m^3-17=0$%. При $% m=3, x=-\frac{10}{27}\notin Z.$%

При $% m\ne3, $% имеем квадратичное уравнение, которое имеет решений, если $%D=9m^4-4(3m-9)(m^3-17)=-3m^4+36m^3+204m-612\ge0. $% Не трудно проверить, что последный многочлен имеет единственную точку экстремума, следовательно имеет 2 вещественных корней в промежутке $% [1;12]$%, далее проверяем, что уравнение имеет целых решений ,только при $% m=2;x=1;y=3$% или $%x=3; y=5$% и при $%m=11, x=-6; y=5.$% Ответ. $%(1;3),(3;5), (-6;5)$%

ссылка

отвечен 13 Июл '12 15:22

изменен 13 Июл '12 23:49

2

В этом направлении можно еще учесть делимость на 3. Из уравнения, связывающего x и m видно, что $%m^3$% сравнимо с -1 по модулю 3, т.е. m принимает значения 2, 5, 8, ... Также можно показать, что $%x \ne 3k+2$%. Все это сокращает перебор.

(13 Июл '12 22:13) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сравним правую часть с кубом какого-либо выражения от x. Имеем $%y^3 = (x+3)^3 - 27x - 10$%. Значит, при $%x\ge 0$% имеем $%y^3 < (x+3)^3$%, а в силу целочисленности, $%y^3 \le(x+2)^3$%. Подставляем выражение для $%y^3$%, получаем квадратное неравенство для x. Оно имеет целые решения 1, 2, 3, которые можно проверить непосредственно.

Аналогично проверяем отрицательные x: если $%x \le -1$%, то $%y^3 > (x+3)^3$%, откуда, $%y^3 \ge(x+4)^3$%. Это неравенство приводится к виду $%3x^2 + 48 x +47\le 0$%, его целочисленные решения лежат в пределах от -14 до -2.

ссылка

отвечен 13 Июл '12 1:32

изменен 13 Июл '12 1:34

Спасибо большое!

(13 Июл '12 3:06) milib

Не приведет ли замена $$y^3=(x+2)^3$$ к потере некоторых корней? Я получил такое выражение$$ (y-3)(y^2+3y+9)=(x-1)(x^2+10x+10)$$ очевидно, что (1;3) есть решение, а остальные как можно найти?

(13 Июл '12 4:19) milib

А зачем делать такую замену? Я предлагаю неравенство!

(13 Июл '12 22:07) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

$% if x > 0, then $% Ответ:$% (1,3),(3,5).$% Очевидно $% (x+1)^3 < x^3+9y^2+17 < (x+3)^3 => y^3 = (x+2)^3 => y = x+2$% Подставляя в урав-ие и сокращая получим $% x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 => x=1,3 => y=3,5.$%

ссылка

отвечен 13 Июл '12 18:33

изменен 13 Июл '12 18:51

ASailyan's gravatar image


15.4k725

Большое всем спасибо!

(13 Июл '12 20:50) milib
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104

задан
13 Июл '12 0:15

показан
1808 раз

обновлен
13 Июл '12 23:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru