|
Помогите решить уравнение в целых числах! $$y^3=x^3+9x^2+17$$ задан 13 Июл '12 0:15 
milib |
|
Из уравнения ясно,что $%y^3>x^3\Leftrightarrow y>x. $% Пусть $% y=x+m , m\in N. $% Уравнение примет вид $%(3m-9)x^2+3m^2x+m^3-17=0$%. При $% m=3, x=-\frac{10}{27}\notin Z.$% При $% m\ne3, $% имеем квадратичное уравнение, которое имеет решений, если $%D=9m^4-4(3m-9)(m^3-17)=-3m^4+36m^3+204m-612\ge0. $% Не трудно проверить, что последный многочлен имеет единственную точку экстремума, следовательно имеет 2 вещественных корней в промежутке $% [1;12]$%, далее проверяем, что уравнение имеет целых решений ,только при $% m=2;x=1;y=3$% или $%x=3; y=5$% и при $%m=11, x=-6; y=5.$% Ответ. $%(1;3),(3;5), (-6;5)$% отвечен 13 Июл '12 15:22 
ASailyan 2
В этом направлении можно еще учесть делимость на 3. Из уравнения, связывающего x и m видно, что $%m^3$% сравнимо с -1 по модулю 3, т.е. m принимает значения 2, 5, 8, ... Также можно показать, что $%x \ne 3k+2$%. Все это сокращает перебор.
(13 Июл '12 22:13)
DocentI
|
|
Сравним правую часть с кубом какого-либо выражения от x. Имеем $%y^3 = (x+3)^3 - 27x - 10$%. Значит, при $%x\ge 0$% имеем $%y^3 < (x+3)^3$%, а в силу целочисленности, $%y^3 \le(x+2)^3$%. Подставляем выражение для $%y^3$%, получаем квадратное неравенство для x. Оно имеет целые решения 1, 2, 3, которые можно проверить непосредственно. Аналогично проверяем отрицательные x: если $%x \le -1$%, то $%y^3 > (x+3)^3$%, откуда, $%y^3 \ge(x+4)^3$%. Это неравенство приводится к виду $%3x^2 + 48 x +47\le 0$%, его целочисленные решения лежат в пределах от -14 до -2. отвечен 13 Июл '12 1:32 
DocentI Спасибо большое!
(13 Июл '12 3:06)
milib
Не приведет ли замена $$y^3=(x+2)^3$$ к потере некоторых корней? Я получил такое выражение$$ (y-3)(y^2+3y+9)=(x-1)(x^2+10x+10)$$ очевидно, что (1;3) есть решение, а остальные как можно найти?
(13 Июл '12 4:19)
milib
А зачем делать такую замену? Я предлагаю неравенство!
(13 Июл '12 22:07)
DocentI
|
(1;3); (-6;5); (3;5)...
Спасибо! А как вы это решили?
Я не решила, просто построила график. Но надо найти решение.