Здравствуйте! Нужно найти область сходимости ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n {(\frac {2^n(n!)^2}{(2n+1)!}})^px^n$$

На ночь глядя надо непременно взяться за ряд. Смогла найти по Даламберу |x| < 2^p, но как проверить на концах, опять не пойму. Признаки не помогают. И как тут поможет формула Стирлинга, тоже неясно... Либо я опять что-то не понимаю.(

задан 28 Июн '15 2:26

@Anna_2012, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(28 Июн '15 17:35) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь всё решается на основании тех же самых соображений, что и в предыдущих задачах. Рассмотрим два случая концевых точек.

1) $%x=2^p$%. Здесь получается ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}\right)^p$%. Он знакочередующийся, поэтому естественно попытаться применить признак Лейбница. Для этого нам нужно знать асимптотику коэффициента. В прошлых примерах при помощи формулы Стирлинга было установлено, что $%\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\approx\sqrt{\pi n}$%. В нашем случае происходит дополнительное деление на $%2n+1$%, поэтому в степень с показателем $%p$% будет возводиться величина, эквивалентная $%Cn^{-1/2}$%, где $%C=\frac{\sqrt{\pi}}2$%. Получится $%n^{-p/2}$%, и для стремления к нулю нужно $%p > 0$%.

Остаётся проверить, что при этом условии сходимость к нулю монотонная. Это проверяется стандартным способом: для $%a_n=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$% получится $%a_{n+1}/a_n=\frac{2n+2}{2n+3} < 1$%, откуда $%a_{n+1}^p < a_n^p$% при $%p > 0$%. То есть всё ровно так же, как и в прошлый раз.

2) $%x=-2^p$%. Здесь то же самое, но $%(-1)^n$% исчезает, и получается ряд с положительными членами, подобными $%n^{-p/2}$%. Тогда из интегрального признака для сходимости нужно $%p > 2$%.

Ответ получается такого же вида, как и раньше -- я думаю, можно его в явной форме не выписывать. Используемые средства здесь те же самые.

ссылка

отвечен 28 Июн '15 2:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849
×450
×298
×86

задан
28 Июн '15 2:26

показан
632 раза

обновлен
28 Июн '15 17:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru