Любая система координат стоит на двух фундаментальных составляющих: измерении расстояний между точками и измерении направлений между прямыми. Обе составляющие самодостаточны и не сводимы одна к другой. Издревле известна проблема несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. А существует ли какой-нибудь подобный же яркий пример, характеризующий несоизмеримость угловых величин? $$Правка$$. Представимте себе герметичную узкую кольцевую камеру с идеально выдержанным по размерам диаметром и идеально отполированной внутренней цилиндрической поверхностью, имеющей отражательную способность, о которой физик может только мечтать. Внутри камеры нет ни единой молекулы, ни одного кванта излучения. Через специальное отверстие на боковой стенке камеры, имеющее бесконечно малый диаметр, внутрь камеры под углом "фи" к её диаметру, впускается идеальный лазерный импульс (не рассеивающийся ни во времени, ни в пространстве, не теряющий своей энергии и имеющий бесконечно малый поперечник). После каждого испытания перед впрыском нового импульса прежний импульс удаляется из камеры. Импульс, путешествуя по камере, может: 1) вернуться во входное отверстие (такой вариант - аналог целого числа натурального ряда либо рационального числа), 2) может зациклиться на какой-то траектории, не попав во входное отверстие (это аналог иррационального числа), 3) может целую вечность витать в камере и никогда не вернётся на исходную позицию, каждый раз выходя на новую, не повторяющуюся траекторию (это аналог трансцендентного числа). При"фи" = 0 $%k = 2$%, при"фи" = 30 градусам $%k = 3$%, при"фи" = 45 градусам $%k = 4$% и т.д., до бесконечности представляя правильные многоугольники по формуле "фи" = $%(pi(k - 2)/(2k)$%, где $%k$% - натуральное число, а $%pi$% = 180 градусам. Но $%k$% может быть любым числом числовой оси: рациональным, иррациональным, трансцендентным Все промежуточные значения "фи",отличающиеся от значений, соответствующих натуральному ряду чисел, дают континуум рациональных, иррациональных и трансцендентных чисел. Таким способом можно сопоставить числовую ось и континуум градусных величин полуплоскости, развёрнутой вокруг некоторой точки O. Нужна ли, полезна ли такая интерпретация соответствия расстояний на числовой оси (если она измерена некоторой единицей измерения) и углов полуплоскости (если они измерены в градусах)? (Отсюда, из различия единиц измерения, ясно, что речь может идти только о соответствии величин, но не об их равенстве, сводимости одного понятия к другому)

задан 14 Июл '12 11:24

изменен 9 Авг '12 0:51

Deleted's gravatar image


126

Насчет комментариев: их можно писать не более 4 к каждому ответу. У меня под моим ответом они тоже исчерпались. Вы можете удалить какие-нибудь старые. Или отредактировать свой вопрос (кнопкой "править"). Добавить туда что-нибудь. Тут простор практически неограничен!
Но все же постарайтесь уточнить, какой смысл искать эти несоизмеримые углы? Тем более, что, как видите, они все же сводятся к расстояниям (например, длинам дуг окружностей).

(15 Июл '12 23:54) DocentI

Во-от какую правку я сделал! Спасибо Вам за совет.

(16 Июл '12 21:11) nikolaykruzh...

Мне кажется, второй вариант невозможен. Либо луч возвращается в исходную точку, либо будет постепенно заполнять пространство внутри камеры всюду плотно. Разницы между алгебраическими и трансцендентными числами не будет.
Впрочем, я это внимательно не обдумывала. Просто использовала аналогию с фигурами Лиссажу.

(16 Июл '12 22:30) DocentI

Это не луч, а импульс, не имеющий размеров и прочерчивающий мнимую ломаную линию между точками соприкосновения с поверхностью камеры

(17 Июл '12 8:50) nikolaykruzh...

А разница в чем? Раз прочерчивает, значит, можно рассматривать след. Я же говорю о сравнении трансцендентных/алгебраических чисел. Тут отличия не видно.

(20 Июл '12 0:59) DocentI

Если в принципе признать возможность предложенного мною соответствия между точками числовой оси и лучами, исходящими из некоторой неподвижной точки O полуплоскости, то всё остальное - дело размышлений. Числовая ось заполнена континуумом чисел: целых, рациональных, алгебраических, трансцендентных. Полуплоскость заполнена континуумом направлений, измеряемых числами (например, градусами "фи"): целыми, рациональными, алгебраическими, трансцендентными. Способ выявления категорий чисел полуплоскости представлен в "Правке" формулой и видом траектории движения импульса.

(20 Июл '12 23:21) nikolaykruzh...

Уважаемая @Iranda! Вы что-то поправили в этом вопросе, но следов правки я не заметил. Не можете ли выделить свою правку каким-то способом?

(10 Авг '12 16:17) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh... Если Вы хотите просмотреть изменения, нажмите на гиперссылку (синий текст). В данном случае на "изменен <тогда-то>".
Изменения также отмечены синим. Я посмотрела, там немного поправлены метки

(11 Авг '12 23:53) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Будем исходить из того, что "координатная система" - это "система координат". Уточняю, потому что именно второе понятие в математике является общепринятым и имеет строгое определение.

2) Из контекста вопроса вытекает, что речь идет о двумерном пространстве, т.е. о плоскости $%R^2$%.

3) Единственная из стандартных (общеизвестных) систем координат, подходящая под формулировку вопроса - полярная. Там действительно вводятся угол и расстояние, как две независимые сущности. Однако при переходе от полярной к любой другой системе координат (к декартовой прямоугольной, аффинной, параболической, гиперболической и т.д.) эта пара сущностей очень хорошо переходит в какую-то другую пару сущностей. Например, в пару декартовых координат $%(x, y)$%.

4) Эффект несоизмеримости диагонали и стороны квадрата формулируется так: "Если длина стороны квадрата выражается рациональным числом, то длина его диагонали выражается иррациональным". Нужно ли понимать, что задача формулируется так "Привести пример геометрической системы в $%R^2$%, включающей 2 взаимосвязанных угла, такой что, если величина первого угла выражается рациональным числом, то величина второго угла выражается иррациональным числом"? Будем далее исходить именно из такой формулировки задачи.

5) Сформулированная задача наталкивается на следующую трудность: для измерения углов существуют 2 общепринятые системы единиц (градусы и радианы), которые несоизмеримы между собой в сформулированном смысле (если угол выражается рациональным числом градусов, то его величина в радианах будет иррациональной, и наоборот).

6) Предположим, мы обошли сформулированную в п. 5 трудность, зафиксировав раз и навсегда единицы измерения углов. Скажем, решили измерять все углы исключительно в градусах. Тогда пример можно легко привести. Возьмем, например параллелограмм, отличный от ромба, скажем, деформированный "золотой прямоугольник". Если величина угла между сторонами такого параллелограмма будет выражаться рациональным числом, то величина угла между стороной и диагональю - иррациональным.

ссылка

отвечен 15 Июл '12 1:33

изменен 15 Июл '12 21:55

1)Что такое "золотой прямоугольник"? 2) В последнем предложении вместо "параллелепипеда" должен стоять "параллелограмм"? 3)Андрей Юрьевич! Мне нравится Ваша солидность, основательность в рассуждениях. Не только в данном случае, но и вообще. Эти качества присущи Вам, и это - замечательно!

(15 Июл '12 21:25) nikolaykruzh...

1) Имеется в виду прямоугольник золотого сечения. 2)Разумеется, параллелограмм. Исправил. 3) Спасибо.

(15 Июл '12 21:59) Андрей Юрьевич

Деформированный "золотой прямоугольник" - это хороший, доходчивый пример, спасибо Вам, но он не является из ряда вон выходящим. Ему подобных можно найти, вероятно, не один. Значит, в угловом варианте заметного аналога стороне и диагонали квадрата не существует Видимо, @DocentI, права: второй победитель из-за первого не виден. Или по К. Марксу: История повторяется дважды: один раз в качестве факта, другой раз - в качестве фарса. Вопрос был поставлен, видимо, непродуманно, хотя обсуждение получилось информационно ценным, так мне показалось. Спасибо Вам, А. Ю., за участие.

(22 Июл '12 23:15) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Что такое "направления прямых"? Если это углы, то они сводимы к расстояниям, с помощью Пифагора и других теорем. Может, Вы рассматриваете "направления" как векторы, элементы линейного пространства без метрики?Тогда они не выражаются числами, так что нельзя говорить и о несоизмеримости. Несоизмеримость просто требует нерациональных чисел.

Векторные же пространства можно рассматривать и над полем рациональных, и над полем вещественных чисел. Вообще над любым полем.

В векторном пространстве заданы две операции: сложение и умножение на число. Сложение легко приводит к умножению на рациональные числа. Но для перехода к вещественным, как всегда, требуется предел (lim). Об этом говорилось при обсуждении вопроса определение экспоненты. Там я даю ссылку.

Дополнение. Несоизмеримость двух отрезков по сути не является геометрическим фактом, это чистая арифметика: отношение длин не является рациональным числом. То, что это именно длины, не играет большой роли: можно рассматривать любые меры, в том числе углы, площади и т.п. - все, что выражается числом.

Факт несоизмеримости диагонали со стороной имел большое историческое значение, как первое обнаружение нерациональных отношений. На самом деле "большинство" пар отрезков несоизмеримы, так же как пар углов. Ну и что? Второй раз - уже не новость :))
Я думала, Вы имеете в виду какой-нибудь факт, так же мощно подействовавший на теорию математики. Трисекция тут бы подошла, она в том же русле (правда, там не просто иррациональность, а решение уравнений степени больше 2).

ссылка

отвечен 14 Июл '12 15:18

изменен 15 Июл '12 17:13

Пожалуй, аналогом несоизмеримости можно считать задачу о трисекции угла, которая, как известно, невозможна в общем виде с использованием только циркуля и линейки.

(14 Июл '12 15:20) DocentI

Если углы сводимы к расстояниям, то зачем нам такая роскошь: иметь две лошади, когда можно ездить на одной? Задача о трисекции угла - это задача о делении произвольного угла на три равные части. Это вовсе не то, о чём хотелось бы услышать.

(14 Июл '12 17:55) nikolaykruzh...

Все претензии - к Пифагору: зачем он придумал свою теорему? Кстати, роскошь - вещь приятная, да и лошадь лишней не будет. Боливар не выдержит двоих!
В геометрии есть классификация "подгеометрий" на основании типичных изоморфизмов и инвариантов. При этом разные геометрии "вкладываются" друг в друга, как матрешки: метрическая - геометрия подобия - аффинная - проективная. Их инварианты: расстояние - угол - параллельность - прямизна.

(14 Июл '12 20:21) DocentI

И всё-таки, исходя из здравого смысла, из угла никак нельзя получить длину, сколько бы "хитрых" геометрий ни придумали заумные математики. Для треугольника, имеющего известные стороны,можно найти его углы, но не наоборот! Пифагор тут не поможет. Сводимость одного параметра к другому предполагает наличие общей единицы измерения - в нашем случае этого нет. Сводимость должна выражаться формулой - этого тоже нет. Инварианты рассматриваются параллельно: расстояние - угол, а не в форме: расстояние (или угол - выбирайте, что Вам нравится)- параллельность - прямизна... Сдавайтесь!

(14 Июл '12 22:29) nikolaykruzh...

Разумеется, сводимость идет только в одном направлении: по расстояниям можно найти углы. Впрочем, обратное преобразование требует немногого: надо только выделить какой-нибудь отрезок и назвать его единичным. Знание углов однозначно задает форму фигуры - того же квадрата, например.
Когда говорят о соизмеримости расстояний, нас интересует только отношение двух длин. А вот оно-то полностью определяется углами.

(15 Июл '12 17:05) DocentI

Уважаемая @DocentI! В одномерном пространстве никаких углов нет, а проблема несоизмеримости линейных величин существует в своём первозданном виде. Значит, первично всё-таки расстояние. На втором этапе, т.е. на плоскости, появляются направления, а значит,и углы. По аналогии с одномерным пространством должна возникнуть проблема несоизмеримости и угловых величин, но этот вопрос как-то остался затушёванным в истории математики,насколько я теперь понимаю, потому что кроме Вас и А. Ю., никто на мой вопрос не откликнулся. А яркого примера - нет! Или пока нет?

(15 Июл '12 21:54) nikolaykruzh...

Да он просто не нужен! Если Вам очень нужно - возьмите градус и радиан. Оба угла активно используются в "числовой" геометрии, но они несоизмеримы.

Аналогия: человек, который придумал жарить мясо на огне совершил большое открытие, важное в развитии человечества. Но на огне можно жарить также картошку (которой в давнее время у людей еще не было). Однако это новое "открытие" уже не сравнится по важности с первым.
Так же и с несоизмеримостью. Первый факт был гениальным открытием, а остальные - только развитием теории.

(15 Июл '12 23:13) DocentI

Сдаюсь: Вы правы!.. Хотя... Радиан - производная от линейных величин. Надо ещё подумать. Откликнусь позже. Если мне оставят поле для комментария (как оно возникает?)

(15 Июл '12 23:43) nikolaykruzh...
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×77
×12

задан
14 Июл '12 11:24

показан
1641 раз

обновлен
11 Авг '12 23:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru