|
Здравствуйте! Нужно найти область сходимости ряда: $$\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {x^n}{a^ \sqrt n}} (a > 0)$$ Во-первых, можно ли тут найти радиус по Коши-Адамару? Я кое-как вроде нашла по Даламберу |x| < 1. Во-вторых, как проверить на концах, пока тоже не знаю... :( Не пойму, к чему стремится $%a^ {\sqrt n}$%. задан 30 Июн '15 14:54 
Math_2012 |
|
Здесь не надо находить предел самого коэффициента -- нужно брать корень $%n$%-й степени, то есть $%(a^{\sqrt{n}})^{1/n}=a^{1/\sqrt{n}}$%. Показатель стремится к нулю, поэтому последовательность стремится к 1. Это и будет радиус сходимости. При $%|x|=1$% для сходимости ряда необходимо, чтобы $%a^{\sqrt{n}}\to\infty$%, что имеет место при $%a > 1$%. Этого достаточно для сходимости, так как такая экспонента растёт быстрее любого полинома. Получается $%x\in[-1;1]$% при $%a > 1$% и $%x\in(-1;1)$% при $%0 < a\le1$%. отвечен 30 Июн '15 15:07 
falcao |