Помогите решить уравнение:

$$sin^{2} x + \sqrt{2}|sin x|cos \big( \frac{5x}{2} - \frac{5 \pi }{8} \big) + \frac{1}{2} = 0$$

Вот тут есть аналогичное, но я не могу с ним разобраться. Помогите, пожалуйста.

задан 30 Июн '15 15:11

изменен 30 Июн '15 20:40

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку $%\sin x=0$% не дает решения уравнения, то можно поделить на $%|\sin x|$%. Замечая также, что $%\sin^2 x=|\sin x|^2$%, получим $$\frac{|\sin x|}{\sqrt{2}}+\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})+\frac{1}{2\sqrt{2}|\sin x|}=0,$$ или после преобразования $$\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})=-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}|\sin x|}+\sqrt{2}|\sin x|).$$

Оценим правую часть: из неравенства между средним арифметическим и геометрическим получаем, что $$\frac{1}{\sqrt{2}|\sin x|}+\sqrt{2}|\sin x|\geqslant 2, $$ поэтому правая часть меньше или равна $%-1$%.

Поскольку левая часть $%\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})\geqslant -1$%, то равенство возможно только тогда, когда левая и правая части равны $%-1$%.

Откуда получаем два уравнения: $%\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})=-1$% и $%\frac{1}{\sqrt{2}|\sin x|}+\sqrt{2}|\sin x|=2$%. Поскольку равенство в неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим $%a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$% достигается только когда $%a=b$%, получаем уравнение $$\frac{1}{\sqrt{2}|\sin x|}=\sqrt{2}|\sin x|,$$ то есть $%2\sin^2 x=1$%. Откуда $%x=\pi/4+\pi k/2,k\in\mathbb{Z}$%.

Подставим это значение в $%\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})=-1$% и получим, что $%\cos(5\pi k/4)=-1$%.

То есть $%5\pi k/4=\pi+2\pi n,n\in\mathbb{Z}$%, откуда $%k=\frac{4+8n}{5}$%. Так как $%k$% - целое, то $%n=2+5s,s\in\mathbb{Z}$%, поэтому $%k=4+8s$% и $%x=\pi/4+2(1+2s)\pi$%.

ссылка

отвечен 30 Июн '15 15:53

изменен 30 Июн '15 16:12

Спасибо большое за решение. Но пожалуйста объясните вот эту часть - "$% k= \frac{4+8n}{5} $%. Так как k - целое, то $% n=2+5s,s \in Z $% ".

  1. Почему тут "k - целое"?
  2. И откуда появилось выражение "$% n=2+5s,s \in Z $%"?
(30 Июн '15 18:24) alexx384
  1. $%k$% целое по условию: $%x=\pi/4+\pi k/2,k\in\mathbb{Z}$%.
  2. выражение $%\frac{4+8n}{5}$% целое не всегда. Любое число $%n$% можно представить в виде "кратное пяти + остаток от деления на 5", т. е. $%n=r+5s$%, где $%r=0,1,2,3,4$%. Подставив это выражение в дробь $%\frac{4+8n}{5}$%, мы получим, что это целое число только при $%r=2$%.
(30 Июн '15 18:54) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь всё то же самое, решается по аналогии. Можно и чуть иначе рассуждать, рассматривая квадратное уравнение относительно $%|\sin x|$%. Дискриминант должен быть неотрицателен, откуда $%2\cos^2(\frac{5x}2-\frac{5\pi}8)-2\ge0$%. Это значит, что квадрат косинуса равен $%1$%, а сам косинус равен $%\pm1$%. Далее можно рассмотреть два случая. Если косинус равен единице, то $%|\sin x|^2+\sqrt2|\sin x|+\frac12=0$%, откуда $%|\sin x|=-\frac{\sqrt2}2$%, что невозможно.

Остаётся случай $%\cos(\frac{5x}2-\frac{5\pi}8)=-1$%, где $%|\sin x|^2-\sqrt2|\sin x|+\frac12=0$%, откуда $%|\sin x|=\frac{\sqrt2}2$%. Последнее условие равносильно тому, что $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$% для некоторого $%k\in\mathbb Z$%. Подставим это значение в уравнение с косинусом. Получится $%\cos\frac{5\pi k}4=-1$%. Это значит, что $%\frac{5k}4$% является нечётным целым числом. Отсюда $%k=4(2m+1)$%, где $%m\in\mathbb Z$%. Окончательно имеем $%x=(4m+\frac94)\pi$%.

ссылка

отвечен 30 Июн '15 15:53

  1. Объясните, пожалуйста, почему $% \frac{5k}{4}$% является нечётным и целым числом?
  2. И как из этого вышло, что "k=4(2m+1)"?
(30 Июн '15 18:29) alexx384

@alexx384: у нас есть уравнение вида "косинус угла равен -1". Его корнем является число $%\pi$%, а также все числа вида $%\pi+2\pi s$%, где $%s$% целое. Общий вид корня: $%\pi(1+2s)$%, то есть нечётное число, умноженное на $%\pi$%. Из этого был сделан вывод, что $%5k/4$% -- целое нечётное.

Чтобы такое число было целым, необходимо, чтобы $%k$% делилось на $%4$%. Пусть $%k=4t$%, тогда $%5t$% нечётно. Это значит, что $%t$% тоже нечётно и имеет вид $%2m+1$%. Следовательно, $%k=4(2m+1)$%.

Я все эти мелочи в решении опускал по одной очень простой причине: они восстанавливаются автоматически.

(30 Июн '15 19:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрите два случая: sinx>=0 и sinx<0 и решайте уравнение как квадратное относительно sinx. Там под корнем получится хорошее выражение, из него сразу можно найти cos(5x/2-5pi/8)

ссылка

отвечен 30 Июн '15 15:50

изменен 30 Июн '15 16:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
30 Июн '15 15:11

показан
509 раз

обновлен
30 Июн '15 19:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru