пределы - Предел последовательности

@Anna_2012, да, можно. Обычно факт, что показательная функция растет быстрее степенной, считается известным. Предел равен 0.

@Anna_2012: в принципе, этот факт считается достаточно известным, и на него можно ссылаться. Но здесь есть ещё путь доказательства через ряды. Рассмотрим ряд с таким членом, по признаку Даламбера он сходится. Значит, предел общего члена равен нулю.

Тут можно воспользоваться порядком роста функций - Если этот факт считается известным, то можно... а если Вы доказываете факт более быстрого роста показательной функции, то надо по другому...

В первом семестре матанализа эта задача на применение теоремы Вейерштрасса или леммы о двух милиционерах...

Можно воспользоваться биномом Ньютона: $$\frac n{2^n}=\frac n{(1+1)^n}<\frac n{C_n^2}\rightarrow0$$

Используя метод математической индукции, можно доказать, что при $%n\geqslant{5}$% выполняется неравенство $%n^2<2^n,$% хотя способ, предложенный уважаемым EdwardTurJ, представляется изящнее. Если не запрещено, то можно и правилом Лопиталя...