Здравствуйте! Нужно найти предел функции:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac {(1 + mx)^n - (1 + nx)^m} {x^2}$$

Я так понимаю, тут нужно использовать бином Ньютона. Можно ли как-то по-другому решить?

задан 2 Июл '15 18:34

2

Здесь достаточно рассматривать биномиальную формулу не в полном, а в "урезанном" виде, то есть $%(1+mx)^n=1+mnx+C_n^2(mx)^2+o(x^2)$%, не выписывая явно остальные члены. В таком виде все вычисления достаточно просты. Сразу видно, что получится $%\frac{mn(n-m)}2$%.

(2 Июл '15 18:42) falcao
1

Меня осенило - можно же взять 2 раза по Лопиталю. :) То есть я сама ответила на свой вопрос. )

(2 Июл '15 19:09) Math_2012
2

@Anna_2012: мне кажется, это не самый хороший способ. Дело в том, что помимо доказательства самого правила Лопиталя (а также проверки его применимости), там используется формула производной степенной функции, а она сама получается в результате "частичного" разложения по биному. То есть, если развернуть, то мы придём к тому же самому. Я понимаю, если бы пришлось целиком раскрывать всю степень бинома -- это было бы длинно. Но за счёт о-символики этого можно легко избежать.

(2 Июл '15 19:21) falcao

@falcao, производна степенной функции хорошо выводится при использовании разности степеней ... то есть без бинома ...

(3 Июл '15 0:15) all_exist

@all_exist: вообще говоря, да -- там достаточно тождества типа $%a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})$%, а оно более "слабое" нежели биномиальное. Для установления первой производной этих соображений в принципе хватает. Тем не менее, здесь проще всё-таки прямое рассуждение, не основанное на Лопитале.

(3 Июл '15 0:23) falcao

@falcao, я так понимаю, что ТС интересует вопрос не про проще (с точки зрения многих), а про метод, который ей понятнее...

(3 Июл '15 0:32) all_exist

@all_exist: я не знаю. Но вообще-то имеет смысл осваивать новые методы -- это всегда полезно. Разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано -- достаточно удобная и универсальная вещь.

(3 Июл '15 0:35) falcao

@falcao, я бы сказал, что она во многом равносильна правилу Лопиталя...

(3 Июл '15 0:42) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×659
×560
×14

задан
2 Июл '15 18:34

показан
664 раза

обновлен
3 Июл '15 0:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru